Enunciado

Verifique a Fórmula (2) do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.

F ( x ,   y , z )   = ( z   -   y ) i   +   ( z   +   x ) j   -   ( x   +   y ) k

σ é a porção do paraboloide z = 9 - x 2 -   y 2   acima do plano x y .

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Calculando pela integral de linha:

Primeiramente, vamos transformar em uma variável, considerando

x   =   3   c o s   t ,   y   =   3 s e n   t ,   z   =   1   ( 0   ≤   t   ≤   2 π )

r t = 3 c o s t i + 3 s e n t j + k

∮ C F .   d r = ∫ 0 2 π - 3 s e n   t i + 3   c o s   t * ( - 3 s e n t i + 3 c o s t j ) d t = ∫ 0 2 π 9 s e n 2 t +   9 c o s 2 t   d t = ∫ 0 2 π 9 s e n 2 t +   c o s 2 t   d t = ∫ 0 2 π 9 d t = 9 t 0 2 π = 18 π

Passo 3

Calculando pela integral dupla:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   ( z   -   y )     ( z   +   x )   ( - x -   y )   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ( z   -   y )   ( z   +   x )     | = ∂ ( - x -   y ) ∂ y i + ∂ ( z   -   y ) ∂ z j + ∂ ( z   +   x ) ∂ x k - ∂ z   -   y ∂ y k - ∂ z   +   x ∂ z i - ∂ - x -   y ∂ x j = - 1 - 1 i + 1 + 1 j + 1 + 1 k = - 2 i + 2 j + 2 k

Considerando:

x   =     r c o s   t ,   y   =   r s e n   t ,

∬ σ r o t   F . n   d S = ∬ σ - 2 i + 2 j + 2 k . ( 2 x i + 2 y j + k )   d S = ∬ R ( - 4 x + 4 y + 2 )   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( - 4 r c o s   t + 4 r s e n   t + 2 )   r d θ = = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( - 4 r 2 c o s   t + 4 r 2 s e n   t + 2 r ) d θ = ∫ 0 2 π - 4 r 3 3 c o s t + 4 r 3 3 s e n t + r 2 0 3 d θ = ∫ 0 2 π ( - 36 c o s t + 36 s e n t + 9 ) d θ = - 36 s e n t - 36 c o s t + 9 t 0 2 π = - 36 s e n 2 π - 36 c o s 2 π + 9 * 2 π + 36 s e n 0 + 36 c o s 0 - 9 * 0 = - 36 + 18 π + 36 = 18 π

Resposta

18 π

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