Enunciado

Verifique a Fórmula (2) do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.

F ( x ,   y , z )   =   ( x   -   y ) i   +   ( y   -   z ) j   +   ( z   -   x ) k

σ é a porção do plano x   +   y   +   z   =   1 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Calculando pela integral de linha:

Primeiramente, vamos transformar em uma variável, considerando 0 ≤ t ≤ 1 , temos:

C 1   r t = 1 - t i + t j

C 2   r t = 1 - t j + t k

C 3   r t = t i + 1 - t k

∮ C 1 F .   d r = ∮ C 2 F .   d r = ∮ C 3 F .   d r = ∫ 0 1 ( 3 t - 1 ) d t = 3 t 2 2 - t 0 1 = 1 2

∮ C F .   d r = ∮ C 1 F .   d r + ∮ C 2 F .   d r + ∮ C 3 F .   d r = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2

Passo 3

Calculando pela integral dupla:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x   -   y     y   -   z   z   -   x   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   x   -   y   y   -   z   | = ∂ ( z   -   x ) ∂ y i + ∂ ( x   -   y ) ∂ z j + ∂ ( y   -   z ) ∂ x k - ∂ x   -   y ∂ y k - ∂ y   -   z ∂ z i - ∂ z   -   x ∂ x j = - i - j - k

Considerando

x   +   y   +   z   =   1 → z = 1 - x - y

x + y = 1

x = 0 ; y = 0

∬ σ r o t   F . n   d S = ∬ R - i - j - k . ( - i - j - k )   d A = ∬ R 3   d A = 3 * A R = 3 * 1 2 * 1 * 1 = 3 2

Resposta

3 2

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