Enunciado

Verifique a Fórmula (2) do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.

F ( x ,   y , z )   =   x 2 i   +   y 2 j   +   z 2 k

σ é a porção do cone z = x 2 -   y 2   abaixo do plano z   =   1 .

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Calculando pela integral de linha:

Primeiramente, vamos transformar em uma variável, considerando

x   =     c o s   t ,   y   =   s e n   t ,   z   =   1   ( 0   ≤   t   ≤   2 π )

r t = c o s t i + s e n t j + k → d r = - s e n t i + c o s t j d t

∮ C F .   d r = ∮ C ( x 2 d x + y 2 d y   +   z 2 d z ) d r = ∮ C 2 x + 2 y   + 2 z d r = = ∫ 0 2 π 2 c o s c o s   t     +   2 s e n t + 2   * ( - s e n t   i + c o s t j ) d t = ∫ 0 2 π - 2 c o s c o s   t   s e n t   +   2 s e n t c o s t   d t = 0

Passo 3

Calculando pela integral dupla:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x 2     y 2   z 2   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   x 2   y 2     | = ∂ z 2 ∂ y i + ∂ x 2 ∂ z j + ∂ y 2 ∂ x k - ∂ x 2 ∂ y k - ∂ y 2 ∂ z i - ∂ z 2 ∂ x j = 0

∬ σ r o t   F . n   d S = 0

Resposta

0

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