Verifique que a função ϕ(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-2x) é uma solução para a equação linear

(d^2 y) / (d x^2) + (d y) / (d x) - 2y = 0

Para qualquer escolha das constantes c₁ e c₂ . Determine c₁ e c2 de modo que satisfaça cada uma das seguintes condições iniciais.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos a primeira parte da questão, basta aplicarmos a solução na EDO, derivarmos e vermos se função é zerada.

Para a segunda parte, também precisamos da derivada da solução para aplicar os valores iniciais. Com isso, vamos montar um sistema de equações e resolve-lo.

Passo 2

A função que ele nos diz para verificar é:

ϕ x = c 1 e x + c 2 e - 2 x

ϕ ' ( x ) = c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x

ϕ ' ' x = c 1 e x + 4 c 2 e - 2 x

Substituindo na EDO.

d 2 y d x 2 + d y d x - 2 y = 0

c 1 e x + 4 c 2 e - 2 x + c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x - 2 c 1 e x + c 2 e - 2 x = 0

0 = 0

A função realmente é solução.

Passo 3

Agora, vamos determinar as constantes. Para y 0 = 2 :

ϕ x = c 1 e x + c 2 e - 2 x

2 = c 1 + c 2

Para y ' 0 = 1 .

ϕ ' ( x ) = c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x

1 = c 1 - 2 c 2

Isolando c 1 na primeira equação.

c 1 = 2 - c 2

Substituindo na segunda equação.

1 = 2 - c 2 - 2 c 2

c 2 = 1 3

Achando o valor de c 1 .

c 1 = 2 - 1 3

c 1 = 5 3

Então, a solução para os valores iniciais é:

ϕ x = 1 3 e x + 5 3 e - 2 x

Passo 4

Para o segundo valor inicial. y 1 = 1 .

ϕ x = c 1 e x + c 2 e - 2 x

1 = c 1 e 1 + c 2 e - 2

Para y ' 1 = 0 .

ϕ ' ( x ) = c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x

0 = c 1 e 1 - 2 c 2 e - 2

Isolando c 1 na segunda equação:

c 1 = 2 c 2 e - 3

Substituindo esse valor na primeira equação.

1 = 2 c 2 e - 3 e 1 + c 2 e - 2

c 2 = e 2 3

Achando o valor de c 1 .

c 1 = 2 e 2 e - 3 3

c 1 = 2 3 e

Logo, a solução fica:

ϕ x = 2 3 e x - 1 + 1 3 e - 2 x + 2

Resposta

  1. ϕ x = 2 3 e x - 1 + 1 3 e - 2 x + 2 .
  2. ϕ x = 1 3 e x + 5 3 e - 2 x .