Verifique se o limite abaixo está correto, pelo uso direto da Definição 1. Isto é, para ϵ > 0 , ache δ > 0 de tal maneira que f x - L < ϵ válido sempre que 0 < x - a < δ .

lim x → 3 ⁡ a = a ,     onde   a   é   constante

Passo 1

Show de bola, galera. Adianto logo o seguinte: Esse não é o tipo de questão comum de cair numa avaliação de universidade. Ela é mais conceitual e tem suas aplicações num ramo da matemática chamado de Análise na Reta. Ela é típica de uma 2ª Chamada que é feita sob forte inspiração, então, cuidado como você trata seu professor. #FicaADica

A maneira de demonstrarmos isso vai ser a seguinte: vamos começar com a desigualdade f x - L < ϵ e vamos ver a onde ela nos leva.

Passo 2

Antes de começarmos, vamos definir quem é f ( x ) e quem é L :

f x = a

L = a

Assim:

f x - L < ϵ ⇔ a - a < ϵ ⇔ 0 < ϵ ⇔ 0 < ϵ

Aqui cabe uma observação. Na Definição 1, temos que ambos δ e ϵ são maiores que zero. Além disso, obtivemos que ϵ > 0 , o que significa que qualquer valor que nós escolhamos vai satisfazer a inequação. Assim

δ = ϵ

Trazendo essa linguagem simbólica para o nosso dia a dia, considere a função y = x . Na nossa linguagem cotidiana, x seria a variável independente, ou seja, aquela que podemos atribuir qualquer valor, e y seria a variável dependente, ou seja, ela vai “depender” (como o nome já diz) do valor que escolhemos para x .

Voltando para a definição de limites, ϵ seria a variável independente e δ seria a variável dependente.

Espero que essa questão tenha ficado clara para você. Qualquer dúvida, reveja calmamente os passos que foram dados. Se a dúvida ainda persistir, passe para a próxima questão que é do mesmo estilo. Vem comigo!

Resposta

δ = ϵ