Verifique se x^2 + c * y^2 = 1 , onde c é uma constante arbitraria diferente de zero, é uma família de soluções implícitas com um parâmetro para

dy/dx = (x * y) / (x^2 - 1)

E represente em gráfico várias das curvas de seleção usando os mesmos eixos de coordenadas.

Passo 1

Falaaa, belezaa??? Para a verificação, basta derivarmos implicitamente a função que supostamente é solução e aplicar na EDO. Se a equação zerar, então a função é solução.

Passo 2

A função que supostamente é solução, é a seguinte:

x 2 + c y 2 = 1

Derivando implicitamente.

d x 2 + c y 2 d x = d 1 d x

2 x + c 2 y y ' = 0

2 c y d y d x = - 2 x

d y d x = - x c y

Multiplicando em cima e embaixo por y .

d y d x = - x y c y 2

Agora, podemos fazer a seguinte substituição: - c y 2 = x 2 - 1 .

d y d x = x y x 2 - 1

Como achamos uma equação igual a do enunciado, então a função é uma solução implícita da EDO.

O gráfico da solução implícita para c = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 :

Resposta

Resolução nos passos anteriores.