Enunciado

9.

a) Verifique que

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x tan ⁡ x   ) + k  

Com x ∈ - π 2   ,     π 2  

Passo 1

Vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois fazendo isso não alteramos o valor da integral, mas isso pode facilitar nosso cálculo. Nesse caso, o termo escolhido será tan ⁡ x + sec ⁡ x . Assim,

∫ sec ⁡ x   d x =   ∫ sec ⁡ x   tan ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x

Fazendo a distributiva

∫ sec ⁡ x   tan ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x =   ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x

Passo 2

Perceba que se nos derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador. Lembrando que ( tan ⁡ u ) ' = u ' sec 2 ⁡ u e ( sec ⁡ u ) ' = u ' sec ⁡ u tan ⁡ u   . Vamos chamar o denominador de m   e derivar.

m = tan ⁡ x + sec ⁡ x

Derivando m   com relação a x , temos

d m d x = sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x ⟹ d m = sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x d x  

⟹ d x = 1 sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x   d m

Passo 3

Substituindo o valor de m e d x , obtemos

∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x =   ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x m * 1 sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x d m

Podemos cortar os dois termos que são iguais e teremos

∫ 1 m d m

Nós sabemos que essa integral é do tipo ∫ 1 x d x = l n   x + k . Ou seja,

∫ 1 m d m = ln ⁡ m + k

Sabendo que m = tan ⁡ x + sec ⁡ x

ln ⁡ m + k =   ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + k

Passo 4

Lembrando que o módulo presente no Logaritmo é por conta do domínio dessa função apenas assumir valores não nulos e positivos. Vamos observar bem, no nosso caso, para ver se precisamos utilizar o módulo. Lembrando que x ∈ - π 2   ,     π 2  

Dentro do logaritmo temos o termo tan ⁡ x + sec ⁡ x .   Vamos arrumar esse termo; lembrando que tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x . Logo,

tan ⁡ x + sec ⁡ x =   sin ⁡ x cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x = sin ⁡ x + 1 cos ⁡ x    

Como x ∈ - π 2   ,     π 2   . Temos que para esse intervalo, - 1 < sin ⁡ x < 1 e que 0 < cos ⁡ x < 1 . Ou seja, como a função seno é maior que menos um para esse intervalo, o numerador será maior que zero sempre. Além disso, o denominador também sempre será maior que zero, já que a função cosseno é maior que zero para esse intervalo. Com isso, temos que o valor dentro do logaritmo sempre será maior que zero. Dessa forma, podemos tirar o módulo. Assim,

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x tan ⁡ x   ) + k  

Para x ∈ - π 2   ,     π 2   .

Passo 5

b) Mostre que

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

Passo 6

Como já mostrado na letra a, o termo que está dentro da integral equivale a

tan ⁡ x + sec ⁡ x =   sin ⁡ x cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x = sin ⁡ x + 1 cos ⁡ x

No entanto, como x   pode assumir qualquer valor tanto a função seno quanto a função seno podem assumir valores entre -1 e 1. Ou seja, podemos ter um valor negativo. Como sabemos, a função logarítmica não pode assumir valores negativos. Assim, o módulo tira os possíveis valores negativos. Logo,

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

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