Verifique que a senoide exponencialmente amortecida é uma solução para a equação (3) se , , e . Qual é o limite dessa solução quando ?
Passo 1
Faaalaa, minha galera massa!!! Neste exercício vamos usar o conceito de resolução de EDO e limite, mas é um passo a passo que depois de sabermos como faz é bem simples.
Na primeira parte da questão, temos que encontrar a solução da equação abaixo e verificar se a função que ele nos disse realmente é a solução da EDO:
Na segunda parte, para sabermos o limite da função quando o tempo tende ao infinito será mais uma questão de interpretação. Vamos lá!!!
Passo 2
A equação do exemplo é:
Em EDO’s homogêneas supomos uma solução com a forma: .
Derivando em relação ao tempo.
Usando a famosa fórmula de Bhaskara.
Para raízes complexas o é definido por e . Onde, a solução assume a seguinte forma:
Então, a solução da nossa EDO é:
Acima, podemos ver duas soluções para a EDO, tanto o cosseno quanto o seno são soluções. Então, verificamos que a função que o enunciado nos deu realmente é solução.
Passo 3
Para entendermos qual é o limite da solução quando tende ao infinito, temos que ter em mente que um número elevado á um expoente negativo torna a base cada vez menor. Então, se o expoente tende ao infinito pelo lado negativo a solução tende a zero.