Verifique que a senoide exponencialmente amortecida y(t) = e^(-3t) * sen(raiz(3) * t) é uma solução para a equação (3) se F_ext(x, t) = 0 , m = 1 , b = 6 e k = 12 . Qual é o limite dessa solução quando t → infinito ?

Passo 1

Faaalaa, minha galera massa!!! Neste exercício vamos usar o conceito de resolução de EDO e limite, mas é um passo a passo que depois de sabermos como faz é bem simples.

Na primeira parte da questão, temos que encontrar a solução da equação abaixo e verificar se a função que ele nos disse realmente é a solução da EDO:

m y ' ' + b y ' + k y = F e x t ( t )

y ' ' + 6 y ' + 12 y = 0

Na segunda parte, para sabermos o limite da função quando o tempo tende ao infinito será mais uma questão de interpretação. Vamos lá!!!

Passo 2

A equação do exemplo é:

y ' ' + 6 y ' + 12 y = 0

Em EDO’s homogêneas supomos uma solução com a forma: e r t .

e r t ' ' + 6 e r t ' + 12 e r t = 0

Derivando em relação ao tempo.

e r t r 2 + 6 r + 12 = 0

Usando a famosa fórmula de Bhaskara.

r 12 = - 6 ± 36 - 48 2

r 12 = - 6 ± 12 i 2

r 12 = - 3 ± 3 i

Para raízes complexas o r é definido por r 1 = α + i β e r 2 = α + i β . Onde, a solução assume a seguinte forma:

y = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n β t

Então, a solução da nossa EDO é:

y = e - 3 t c 1 cos ⁡ 3   t + c 2 s e n 3   t

Acima, podemos ver duas soluções para a EDO, tanto o cosseno quanto o seno são soluções. Então, verificamos que a função que o enunciado nos deu realmente é solução.

Passo 3

Para entendermos qual é o limite da solução quando t tende ao infinito, temos que ter em mente que um número elevado á um expoente negativo torna a base cada vez menor. Então, se o expoente tende ao infinito pelo lado negativo a solução tende a zero.

lim t → ∞ ⁡ e - 3 t s e n 3   t = 0

Resposta

y = e - 3 t c 1 cos ⁡ 3   t + c 2 s e n 3   t

lim t → ∞ ⁡ e - 3 t s e n 3   t = 0