Verifique se a solução do problema de valor inicial

x' = 5x - 3y - 2 ; x(0) = 2 ,

y' = 4x - 3y - 1 ; y(0) = 0

Satisfaz |x(t)| + |y(t)| → +∞ quando t -> +∞ .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!! Nesta questão vamos resolver igual estávamos resolvendo as anteriores, manipulando as equações até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração delas.

Depois aplicamos as condições iniciais e encontramos as constantes. O que muda dessa questão para as anteriores, é que vamos ter que encontrar o limite da função quando t tende ao infinito e ver se a função tende ao infinito também.

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

x ' = 5 x - 3 y - 2

y ' = 4 x - 3 y - 1

Elas podem ser reescritas como:

                          D - 5 x + 3 y = - 2                   ( 1 )

                          - 4 x + D + 3 y = - 1                   ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por 4 e a equação (2) por ( D - 5 ) e somando as duas equações.

12 y + D - 5 D + 3 y = - 2 - ( - 1 )

D 2 - 2 D - 3 y = - 1

A ultima equação é equivalente a:

y ' ' - 2 y - 3 = - 1

Achando a solução da parte homogênea.

r 2 - 2 r - 3 = 0

Por Bhaskara achamos as seguintes raízes. r 1 = 3 e r 2 = - 1 , então a solução é:

y h t = c 1 e 3 t + c 2 e - t

Para a parte particular, assumimos a seguinte forma para a solução: y p = A

Substituindo na EDO e igualando os coeficientes, encontramos A = 1 .

Portanto a solução de y fica:

y t = c 1 e 3 t + c 2 e - t + 1

Passo 3

Para encontrarmos x , vamos usar a fórmula (2)

- 4 x + D + 3 y = - 1

4 x = 1 + y ' + 3 y

Substituindo y .

4 x = 1 + c 1 e 3 t + c 2 e - t + 1 ' + 3 c 1 e 3 t + c 2 e - t + 1

4 x = 1 + 3 c 1 e 3 t - c 2 e - t + 3 c 1 e 3 t + 3 c 2 e - t + 3

4 x = 6 c 1 e 3 t + 2 c 2 e - t + 4

x ( t ) = 3 2 c 1 e 3 t + 1 2 c 2 e - t + 1

Passo 4

Precisamos encontrar os valores das constantes antes de calcularmos o limite da função, vamos lá!!

Quando y 0 = 0

y t = c 1 e 3 t + c 2 e - t + 1

0 = c 1 + c 2 + 1

c 1 + c 2 = - 1

Quando x 0 = 2

x ( t ) = 3 2 c 1 e 3 t + 1 2 c 2 e - t + 1

2 = 3 2 c 1 + 1 2 c 2 + 1

3 2 c 1 + 1 2 c 2 = 1

Resolvendo as duas equações, encontramos os seguintes valores c 1 = 3 / 2 e c 2 = - 5 / 2 .

Agora, temos as soluções nas condições iniciais.

x t = 9 4 e 3 t - 5 4 e - t + 1

y t = 3 2 e 3 t - 5 2 e - t + 1

Calculando o limite que o enunciado nos pediu.

lim t → ∞ ⁡ ( x + y ) = lim t → ∞ ⁡ 9 4 e 3 t - 5 4 e - t + 1 + lim t → ∞ ⁡ 3 2 e 3 t - 5 2 e - t + 1

lim t → ∞ ⁡ ( x + y ) = ∞ - 0 + 1 + ∞ - 0 + 1

lim t → ∞ ⁡ ( x + y ) = ∞

Então, o sistema de valor inicial satisfaz o limite.

Resposta

O sistema de valor inicial satisfaz o limite.