Verifique se a solução do problema de valor inicial
; ,
;
Satisfaz quando .
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!! Nesta questão vamos resolver igual estávamos resolvendo as anteriores, manipulando as equações até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração delas.
Depois aplicamos as condições iniciais e encontramos as constantes. O que muda dessa questão para as anteriores, é que vamos ter que encontrar o limite da função quando tende ao infinito e ver se a função tende ao infinito também.
Passo 2
As equações que o enunciado nos deu são:
Elas podem ser reescritas como:
Multiplicando a equação (1) por e a equação (2) por e somando as duas equações.
A ultima equação é equivalente a:
Achando a solução da parte homogênea.
Por Bhaskara achamos as seguintes raízes. e , então a solução é:
Para a parte particular, assumimos a seguinte forma para a solução:
Substituindo na EDO e igualando os coeficientes, encontramos .
Portanto a solução de fica:
Passo 3
Para encontrarmos , vamos usar a fórmula (2)
Substituindo .
Passo 4
Precisamos encontrar os valores das constantes antes de calcularmos o limite da função, vamos lá!!
Quando
Quando
Resolvendo as duas equações, encontramos os seguintes valores e .
Agora, temos as soluções nas condições iniciais.
Calculando o limite que o enunciado nos pediu.
Então, o sistema de valor inicial satisfaz o limite.
Resposta
O sistema de valor inicial satisfaz o limite.