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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 15a

Verifique que, para todo x ϵ ] - 1 , 1 [ ,

(1 + x)^(- (1)/(2)) = 1 + sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^n (1.3 . 5 ... ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 ... 2 n) x^n

Passo 1

Boom, esta aqui nós vamos precisar relacionar do que descobrimos no exercício anterior, ok?

Nós comprovamos que para todo x ϵ ] - 1 , 1 [ :

(1 + x)^(alpha) = 1 + sum_(n = 1)^(+ oo) (alpha (alpha - 1) ... ( alpha - n + 1 ))/(n) x^n

Se nós fizermos alpha = - (1)/(2) , e adicionando o termo (- 1)^n para igualar os sinais à função original, já que alpha é um valor negativo:

(1 + x)^(- (1)/(2)) = 1 + sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^n (- (1)/(2) (- (1)/(2) - 1) (- (1)/(2) - 2) ... ( - (1)/(2) - n + 1 ))/(n) x^n

(1 + x)^(- (1)/(2)) = 1 + sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^n (1.3 . 5 ... ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 ... 2 n) x^n

Esta foi bem interessante !!

Bora pra (b)??

Resposta

(1 + x)^(- (1)/(2)) = 1 + sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^n (1.3 . 5 ... ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 ... 2 n) x^n

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