Verifique o TVM para f(x) = x^(-1/2) em [1,4] .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, o teorema do valor médio basicamente afirma que se uma função f é contínua no intervalo [ a , b ] e diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , vai existir um ponto c nesse intervalo aberto, tal que f ' ( x ) é a taxa de variação média da função em [ a , b ] . Primeiramente, vamos calcular a derivada dessa função

f^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2) - 1) = (1)/(2) x^(- 3 // 2)

Com isso, nós temos que

f^' (c) = (1)/(2) c^(- 3 // 2)

Sendo que

f ' (c) = (f (b) - f ( a ))/(b - a)

Encontrando os valores para f ( a ) e f ( b ) , nós obtemos o seguinte resultado

f (a) = (1)/(sqrt(1)) = 1

E

f (b) = (1)/(sqrt(4)) = (1)/(2)

Com isso,

f ' (c) = ((1)/(2) - 1)/(4 - 1) = - ((1)/(2))/(3) = - (1)/(6)

Logo,

(1)/(2) c^(- (3)/(2)) = - (1)/(6)

Desenvolvendo um pouco mais, percebemos que não existe soluções para esta equação, o que indica que não existe um f ( c ) entre o intervalo [ a , b ]

Resposta

Não verifica o TVM para o intervalo dado