Vimos que a equação diferencial para o deslocamento y(x) de uma corda em rotação em que a tensão T não é constante e

d/dx [ T(x) * (dy/dx) + P * w^2 * y = 0 ]

Suponha que 1 < x < e e que a tensão seja dada por T(x) = x^2. Se y(1) = 0; y(e) = 0; e p w^2 > 0,25, mostre que as velocidades críticas de rotação angular são w_n = 1 / 2 * raiz((4 * n^2 * pi^2 + 1) / p) e que as curvas de deflexão correspondentes são y_n(x) = c_2 * x^(-1/2) * sen(nπ ln(x)), n = 1, 2, 3, ...

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão sabendo que T não é constante e que a equação diferencial de deslocamento vale,

d d x T x d y d x + P w 2 y = 0

Supondo que 1 < x < e

Dado, T x = x 2 . Se y 1 = 0 .   y e = 0     e     p w 2 > 0,25

Temos que mostrar as velocidades críticas de rotação angular que são,

w n = 1 2 4 n 2 π 2 + 1 p

y n x = c 2 x - 1 2 sin ⁡ ( n π ln ⁡ x ) ,     n = 1,2 , 3 , …  

Passo 2

Nessa questão para acharmos e mostrarmos as velocidades críticas, temos que substituir a função dada por,

y 1 = c 2 x - 1 2 sin ⁡ ( n π ln ⁡ x ) →   y 1 = c 2 1 - 1 2 sin ⁡ ( n π ln ⁡ 1 )

y 1 = 0

y e = 0

y e = c 2 e - 1 2 sin ⁡ ( n π ln ⁡ e )

Ficando,

w n = 1 2 4 n 2 π + 1 p

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

w n = 1 2 4 n 2 π + 1 p