Enunciado

Considere um par de difusão composto por dois sólidos semi-infinitos do mesmo metal e que cada lado do par de difusão possui uma concentração diferente do mesmo elemento de impureza; além disso, considere que cada nível de impureza seja constante em todo o seu lado do par de difusão. Para essa situação, a solução para a segunda lei de Fick (assumindo que o coeficiente de difusão para a impureza seja independente da concentração) é a seguinte:

C x = C 1 + C 2 2 - C 1 - C 2 2 erf ⁡ x 2 D t

( 5.15 )

Nessa expressão, quando a posição x = 0 é tomada como interface inicial do par de difusão, então C 1 é a concentração de impurezas para x < 0 ; de maneira análoga, C 2 é o teor de impurezas para x > 0 .

É formado um par de difusão composto por duas ligas prata-ouro é formado; essas ligas possuem composições de 98 % p A g - 2 % p A u e 95 % p A g - 5 % p A u . Determine o tempo em que este par de difusão deve ser aquecido a 750 ° C   ( 1023   K ) para que a composição seja de 2,5 % p A u na posição a 50   μ m no interior no lado do par de difusão contendo 2 % p A u . Os valores para a constante pré-exponencial e para a energia de ativação para a difusão do A u na A g são de 8,5 × 10 - 5   m 2 / s e 202.100   J / m o l , respectivamente.

Passo 1

Olá! Tudo bem? Neste exercício, devemos determinar o tempo de difusão a 750 ° C   que fornecerá uma composição de 2,5 % p A u na posição a 50   μ m no interior no lado do par de difusão contendo 2 % p A u . Assim, para esse problema, a Equação 5.15 assume a forma:

2,5 = 5 + 2 2 - 5 - 2 2 erf ⁡ 50 × 10 - 6   m 2 D t

Passo 2

Agora é necessário calcular o coeficiente de difusão a 750 ° C ( 1023   K ) , dado que D 0 = 8,5 × 10 - 5   m 2 / s e Q d = 202100   J / m o l . Da equação 5.8 (pág. 112 ; 8 ª Ed.), temos:

D = D 0 exp ⁡ - Q d R T

D = 8,5 × 10 - 5 m 2 s exp ⁡ - 202.100   J / m o l ( 8,31   J / m o l - K ) ( 1023   K )  

D = 4,03 × 10 - 15   m 2 / s

Passo 3

Agora, devemos substituir o valor encontrado no Passo 2 na equação 5.15 :

2,5 = 5 + 2 2 - 5 - 2 2 erf ⁡ 50 × 10 - 6   m 2 ( 4,03 × 10 - 15   m 2 / s ) ( t )

0,6667 = erf ⁡ 393,8 s t

Usando os dados da Tabela 5.1 , na pág. 110, é necessário determinar o valor de z para o qual a função de erro é 0,6667 . Para isso, usamos a interpolação linear da seguinte maneira:

        z                            erf ⁡ z

0 , 650                       0 , 6420

        y                               0,6667

0 , 700                     0 , 6778

y - 0,650 0,700 - 0,650 = 0 , 6667 - 0,6420   0,6778 - 0,6420

y = 0 , 6844

Após acharmos o valor de y = z , podemos encontrar t :

y = 0,6844 = 393,8 s t

t = 3,31 × 10 5   s = 92   h

Resposta

92   h

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