Enunciado

Demonstre que a razão mínima entre os raios do cátion e do ânion para um número de coordenação de 8 vale 0,732 .

Passo 1

Esse problema nos pede para mostrar que a relação mínima de raio cátion/ânion para um número de coordenação de 8 é 0,732 . A partir da célula da unidade cúbica dada por

Onde o lado no nosso quadrado mede 2 r a (duas vezes o raio do ânion). Temos que o comprimento de A B vai ser a diagonal da face, assim, por Pitágoras teremos

A B 2 = 2 r a 2 + 2 r a 2 → A B = 2 r a ⋅ 2  

Agora, vamos utilizar o triângulo A B C e aplicar Pitágoras no mesmo a fim de encontrarmos finalmente a relação entre os raios, assim, vamos ver

A C 2 = A B 2 + B C 2 → A C 2 = 2 r a ⋅ 2 2 + 2 r a 2

A C 2 = 12 r a 2

Mas se repararmos na nossa figura temos que A C = 2 r a + 2 r c , substituindo na equação acima vamos encontrar

2 r a + 2 r c 2 = 12 r a 2

2 2 r a + r c 2 = 12 r a 2 → r a + r c 2 = 3 r a 2

Tirando a raíz quadrada em ambos os lados e desconsiderando a raíz negativa que não convém, vamos encontrar

r a + r c = 3 ⋅ r a

Dividindo todo mundo por r a vamos encontrar

r a r a + r c r a = 3 ⋅ r a r a → 1 + r c r a = 3

r c r a = 3 - 1 ≈ 0,732

Como nós desejávamos mostrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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