Enunciado

Determine a tenacidade (ou a energia para causar a fratura) para um metal que apresenta tanto deformação elástica quanto plástica. Considere a Equação 6.5 para a deformação elástica, que o módulo de elasticidade é de 172   G P a 25 × 10 6   p s i e que a deformação elástica termina em uma deformação de 0,01 . Para a deformação plástica, considere que a relação entre a tensão e a deformação é descrita pela Equação 6.19 , em que os valores para K e n são de 6900   M P a 1 × 10 6   p s i e 0,30 , respectivamente. Adicionalmente, a deformação plástica ocorre entre valores de deformação de 0,01 e 0,75 , em cujo ponto ocorre a fratura.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O exercício nos pede a tenacidade do metal descrito. Bom... A equação da tenacidade é dada por:

T e n a c i d a d e = ∫ σ d ϵ

Onde σ indica a tensão e d ϵ o diferencial de deformação.

Ou seja, se soubermos o valore de σ e o intervalo de deformação, podemos descobrir a tenacidade resolvendo esta integral.

No nosso problema a deformação do metal é tanto elástica quanto plástica. Como são dois tipos de deformações, temos dois tipos de equação para encontrar a tensão.

Para a deformação elástica, temos que:

σ = E ϵ

Onde E indica o módulo de elasticidade e ϵ a deformação na região elástica. Para o metal de trabalho, temos que:

E = 172   G P a = 172 × 10 9   P a

Para a deformação plástica, temos que:

σ V = K ϵ V n

Onde K e n são constantes que variam de acordo com o material. Para o nosso metal, temos que:

K = 6900   M p a = 6900 × 10 6   P a = 6,9 × 10 9   P a

n = 0,30

Passo 2

Bom ... Agora que sabemos os conceitos necessários, vamos aplicar aos dados do enunciado.

Nos foi dito que a deformação elástica ocorre até 0,01 . Ou seja, ela vai de 0 até 0,01 . Podemos dizer então que a tenacidade da região elástica será:

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = ∫ 0 0,01 E ϵ d ϵ

A deformação plástica ocorre no intervalo de 0,01 até 0,75 . Portanto, a tenacidade da região plástica será:

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = ∫ 0 , 01 0 , 75 K ϵ V n d ϵ V

A tenacidade total será então:

T e n a c i d a d e = T e n a c i d a d e e l á s t i c a + T e n a c i d a d e p l á s t i c a

Passo 3

Agora chegou a parte onde vamos resolver estas integrais lindas... Vamos lá, para a tenacidade da região elástica, temos que:

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = ∫ 0 0,01 E ϵ d ϵ

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = ∫ 0 0,01 172 × 10 9   P a ϵ d ϵ

Podemos tirar o valor da integral para obter:

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = 172 × 10 9 ∫ 0 0,01 ϵ d ϵ

Resolvendo a integral, temos:

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = 172 × 10 9 ϵ 2 2 0 0,01

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = 172 × 10 9 0,01 2 2 - 0 2 2

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = 172 × 10 9 10 - 4 2

T e n a c i d a d e e l á s t i c a = 86 × 10 5

Passo 4

Para a tenacidade da região plástica, temos que:

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = ∫ 0,01 0,75 K ϵ V n d ϵ V

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = ∫ 0,01 0,75 6,9 × 10 9   P a ϵ V 0,3 d ϵ V

Podemos tirar o valor da integral para obter:

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = 6,9 × 10 9 ∫ 0,01 0,75 ϵ V 0,3 d ϵ V

Resolvendo a integral, temos:

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = 6,9 × 10 9 ϵ 0,3 + 1 0,3 + 1 0 , 01 0 , 75

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = 6,9 × 10 9 0 , 75 1,3 1,3 - 0 , 01 1,3 1,3

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = 6,9 × 10 9 0,5273

T e n a c i d a d e p l á s t i c a = 3,6384 × 10 9

Passo 5

A tenacidade total será então:

T e n a c i d a d e = T e n a c i d a d e e l á s t i c a + T e n a c i d a d e p l á s t i c a

T e n a c i d a d e = 86 × 10 5   J / m 3 + 3,6384 × 10 9   J / m 3

T e n a c i d a d e = 3,647 × 10 9   J / m 3

Resposta

T e n a c i d a d e = 3,647 × 10 9   J / m 3

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