Enunciado

12- Uma fonte de tensão possui uma forma de onda periódica definida ao longo de seu período como

v t = 10 t 2 π - t V ,   0 < t < 2 π

Determine a série de Fourier para essa tensão.

Passo 1

Nós também podemos escrever essa função da seguinte forma:

v t = 10 ( 2 π t - t 2 )

Com um período igual a 2 π , logo ω = 2 π T = 1  

Plotando o gráfico no intervalo de 0 até 2 π nós deveremos ter a seguinte função:

Portanto a o será:

a o = 1 2 π ∫ 0 2 π 10 2 π t - t 2 d t

a o = 10 2 π π t 2 - t 3 3 0 2 π = 5 π 4 π 3 - 8 π 3 3

a o = 5 π 12 π 3 - 8 π 3 3 = 20 π 2 3

Passo 2

Já o valor de a n será:

a n = 2 2 π ∫ 0 2 π 10 2 π t - t 2 cos ⁡ n t d t

a n = 10 π ∫ 0 2 π 2 π t cos ⁡ n t d t - ∫ 0 2 π t 2 cos ⁡ n t d t

Fazendo as duas integrais por partes nós teremos:

∫ t cos ⁡ n t d t = t n sin ⁡ n t + 1 n 2 c o s ⁡ ( n t )

∫ t 2 cos ⁡ n t d t = t 2 n 3 sin ⁡ n t + 2 t n 2 cos ⁡ n t - 2 n 3 s i n ⁡ ( n t )

Aplicando o intervalo temos:

a n = 10 π 2 π t n sin ⁡ n t + 1 n 2 cos ⁡ n t 0 2 π - t 2 n 3 sin ⁡ n t + 2 t n 2 cos ⁡ n t - 2 n 3 sin ⁡ n t 0 2 π

a n = 10 π 2 π n 2 cos ⁡ 2 π n - 2 π n 2 - 4 π n 2 c o s ⁡ ( 2 π n )

a n = 10 - 2 n 2 c o s ⁡ ( 2 π n ) - 2 n 2

Como cos ⁡ 2 π n = 1   para todo n inteiro então nós temos:

a n = 10 - 4 n 2 = - 40 n 2

Passo 3

Agora para b n :

b n = 2 2 π ∫ 0 2 π 10 2 π t - t 2 sin ⁡ n t d t

A integral deve ficar:

b n = 10 π ∫ 0 2 π 2 π t sin ⁡ n t d t - ∫ 0 2 π t 2 sin ⁡ n t d t

As duas integrais por partes tem o seguinte resultado:

∫ t 2 sin ⁡ n t d t = 2 n 3 cos ⁡ n t + 2 t n 2 sin ⁡ n t - t 2 n cos ⁡ n t

∫ t sin ⁡ n t d t = 1 n 2 sin ⁡ n t - t n c o s ⁡ ( n t )

Então se aplicarmos o intervalo temos:

b n = 10 π 2 π 1 n 2 sin ⁡ n t - t n cos ⁡ n t 0 2 π - 2 n 3 cos ⁡ n t + 2 t n 2 sin ⁡ n t - t 2 n cos ⁡ n t 0 2 π

Aplicando o intervalo teremos:

b n = 10 π - 4 π 2 n cos ⁡ 2 π t - 2 n 3 cos ⁡ 2 π t + 2 n 3 + 4 π 2 n cos ⁡ 2 π t

Como cos ⁡ 2 π t = 1 para qualquer n inteiro então:

b n = 10 π - 4 π 2 n + 4 π 2 n - 2 n 3 + 2 n 3 = 0

Então teremos a seguinte equação de Fourier:

v t = 20 π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 40 n 2 cos ⁡ n t

Plotando esse gráfico para 100 pontos nós teremos:

O que demonstra que estamos certos.

Resposta

v t = 20 π 2 3 - ∑ n = 1 ∞ 40 n 2 cos ⁡ n t

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