Enunciado

20- Determine a série de Fourier para o sinal da Figura 17.58 . Calcule f ( t ) em t = 2 , usando os três harmônicos não nulos.

Passo 1

Essa função é uma função par pois :

f 3 = f - 3 = 4

Nos dando então b n = 0 .

Outra informação que podemos tirar da imagem é que o período dessa onda vale:

T = 6 → ω = 2 π 6 = π 3

Passo 2

Como essa onda é simétrica na vertical podemos fazer duas vezes a integral de metade do trapézio ou seja:

f t = 4 t - 4 ; 1 < t < 2

f t = 4 ; 2 < t < 3  

Portanto a o será:

a o = 1 6 2 ∫ 1 2 4 t - 4   d t + ∫ 2 3 4 d t

a o = 1 3 4 t 2 2 - 4 t 1 2 + 4 t 2 3

a o = 1 3 8 - 8 - 2 + 4 + 12 - 8 = 2

Passo 3

Agora calculando a n :

a n = 2 3 ∫ 1 2 4 t - 4 cos ⁡ n π t 3   d t   + ∫ 2 3 4 cos ⁡ n π t 3 d t

a n = 8 3 ∫ 1 2 t cos ⁡ n π t 3 d t - ∫ 1 2 cos ⁡ n π t 3 d t + ∫ 2 3 cos ⁡ n π t 3 d t

Por integração por partes vemos que:

∫ t cos ⁡ n π t 3 = 9 π 2 n 2 cos ⁡ π n t 3 + 3 t π n sin ⁡ π n t 3

Logo:

a n = 8 3 9 π 2 n 2 cos ⁡ π n t 3 + 3 t π n sin ⁡ π n t 3 1 2 - 3 π n sin ⁡ n π t 3 1 2 + 3 π n sin ⁡ n π t 3 2 3

Aplicando todos os intervalos encontramos:

a n = 24 n 2 π 2 cos ⁡ 2 n π 3 - cos ⁡ n π 3

Então teremos a seguinte função de Fourier:

f t = 2 + 24 n 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n π 3 - cos ⁡ n π 3 cos ⁡ n π t 3

Colocando essa função encontramos:

O que diz que estamos certos.

Passo 4

Agora a soma para os três harmônicos nulos:

f 2 = 2 + 24 π 2 cos ⁡ 2 π 3 - cos ⁡ π 3 cos ⁡ 2 π 3 + 24 4 π 2 cos ⁡ 4 π 3 - cos ⁡ 2 π 3 cos ⁡ 4 π 3

+ 24 9 π 2 cos ⁡ 6 π 3 - cos ⁡ 3 π 3 cos ⁡ 6 π 3 + …

f 2 = 2 + 1.2158 + 0 + 0.5404 + 0 + 0.04863 = 3 . 8048

Isso, é somamos o primeiro, o terceiro e o quinto harmônico.

Resposta

f t = 2 + 24 n 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 2 n π 3 - cos ⁡ n π 3 cos ⁡ n π t 3

f t = 3.8048

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