Enunciado

15. Aplique análise nodal para determinar i 0 e a potência dissipada em cada resistor no circuito da Figura 3.64

Passo 1

Bom! A primeira coisa que devemos saber antes de resolver essa questão é que a corrente elétrica irá sempre se deslocar de um ponto de maior potencial pra um de menor potencial.

E a segunda coisa que temos que fazer é de dar nomes aos bois. Essa figura tá meio vazia, né não? Precisa de um toque de classe, não concorda!?

Tá faltando colocar o sentido das correntes, os nós, atribuir variáveis às tensões nodais, etc.

Por isso, o que devemos fazer é dar uma embelezada nesse circuito de forma que ele possa estar mais compreensível para realizarmos a nossa análise nodal. Vamos lá! Aqui está nossa obra prima...

Olha só! Você aí deve estar se perguntando! Que raios é esse S nas resistências de nossa figura? Não deveria ser ?

Calma que eu vou explicar! A resistência em S nada mais é do que   o inverso da resistência em   Ω . Se temos então uma resistência de 2   S , é porque a resistência equivalente em é:

2   S = 1 2   Ω

A resistência em S é muito útil. Ao invés de dividirmos a tensão nodal pela resistência equivalente em ... Quando a resistência está em S , iremos multiplicar a tensão nodal pela resistência.

Passo 2

Nosso circuito possui 4 nós, sendo que o nó de número 3 está ligado à terra e portanto, possui potencial nulo.

E podemos ver que no nosso circuito, há a presença de um supernó. Sendo assim, aplicando a L K C para ele, temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 0 + i 1 + 2   A + i 2 = 0

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 2 + 2 A + 4   A = 0

Uma vez que a corrente sai sempre do maior para o menor potencial, vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

i 0 = 6 v 1

i 1 = 5 v 0

i 2 = 3 ( v 0 - v 2 )

E substituindo em seguida essas fórmulas, nas duas relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

{ 6 v 1 + 5 v 0 + 3 ( v 0 - v 2 ) + 2 = 0     ( I )     3 ( v 0 - v 2 ) = - 6   ( I I )  

Passo 3

Agora, bora dar uma ajeitadinha nesse sistema:

{ 6 v 1 + 8 v 0 - 3 v 2 = - 2   ( I )   v 0 - v 2 = - 2     ( I I )  

Vamos isolar v 2 na equação ( I I ) :

v 2 = v 0 + 2   ( I I )

E substituir essa relação em ( I ) :

6 v 1 + 8 v 0 - 3 v 2 = - 2  

6 v 1 + 8 v 0 - 3 ( v 0 + 2 ) = - 2

6 v 1 + 8 v 0 - 3 v 0 - 6 = - 2

6 v 1 + 5 v 0 = 4

Só que do supernó, tiramos que:

v 1 - v 0 = 10   V

v 1 = v 0 + 10   V  

O que nos faz ficar com:

6 v 1 + 5 v 0 = 4

6 ⋅ ( v 0 + 10 ) + 5 v 0 = 4

11 v 0 = - 56   V

v 0 = - 56 11   V

E consequentemente, v 1 é dada por:

v 1 = v 0 + 10   V

v 1 = - 56 11   V + 110 11   V

v 1 = 54 11   V

E v 2 , por:

v 2 = v 0 + 2

v 2 = - 56 11   V + 22 11   V

v 2 = - 34 11   V

Passo 4

Por fim, para obter i 0 basta usar:

i 0 = 6 v 1

i 0 = 6 ⋅ 54 11   A

i 0 = 29,45   A

Quanto às potência dissipadas em cada resistor! Olha só! Pro caso específico em que a resistência está em S e não em , a potência é dada por:

P d i s s i p a d a = R e s i s t ê n c i a ⋅ ( T e n s ã o ) 2

Desse modo, obtemos os seguintes resultados:

P a r a   o   r e s i s t o r   d e   6 S → P 6 S = 6 S ⋅ 54 11 2 W

P 6 S = 144,6   W

P a r a   o   r e s i s t o r   d e   5 S → P 5 S = 5 S ⋅ - 56 11 2 W

P 5 S = 129,6   W

P a r a   o   r e s i s t o r   d e   3 S → P 3 S = 3 S ⋅ - 56 11 - - 34 11   2 W

P 3 S = 12   W

Resposta

i 0 = 29,45   A

P o t ê n c i a s   d i s s i p a d a s :

P 6 S = 144,6   W

P 5 S = 129,6   W

P 3 S = 12   W

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