Enunciado

29- Determine a expansão da série de Fourier da função onda dente de serra da Figura 17.67

Passo 1

Para a onda descrita no enunciado nós podemos ver que a parte de cima é simétrica com a parte de baixo, sendo portanto uma simetria de meia onda e para expanão em Fourier essa série nos dá:

a o = 0

Além de que podemos pegar somente a meia parte dessa função para construir nossa série de Fourier, pois a área será a mesma. Então vamos pegar a parte:

f t = - t ; 0 < t < π

O período que vamos utilizar é:

T = 2 π

Portanto :

ω = 2 π 2 π = 1

Passo 2

O valor de a n será:

a n = 2 π ∫ 0 π - t cos ⁡ n t d t

a n = - 2 π ∫ 0 π t cos ⁡ n t d t

Para a integral por partes aí temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = t → d u = d t

d v = cos ⁡ n t → v = 1 n s i n ⁡ ( n t )

Então:

∫ t cos ⁡ n t d t = t n sin ⁡ n t - 1 n ∫ sin ⁡ n t d t

∫ t cos ⁡ n t d t = t n sin ⁡ n t + 1 n 2 c o s ⁡ ( n t )

Portanto:

a n = - 2 π t n sin ⁡ n t + 1 n 2 cos ⁡ n t 0 π

a n = - 2 π sin ⁡ π n + 1 n 2 cos ⁡ π n - 1 n 2

Só que como sin ⁡ π n = 0 para qualquer n inteiro nós teremos:

a n = - 2 π 1 n 2 cos ⁡ π n - 1 n 2

Para n par:

a n = 0

Para n impar:

a n = - 2 π - 1 n 2 - 1 n 2 = 4 π n 2

A última consideração para simetria de meia onda é que só devemos considerar os n ímpar. Caso a n seja diferente de zero.

Passo 3

Agora para encontrar b n :

b n = - 2 π ∫ 0 π t sin ⁡ n t d t

Onde a integral por partes:

∫ t sin ⁡ n t d t

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = t → d u = d t

d v = sin ⁡ n t → v = - 1 n c o s ⁡ ( n t )

Portanto:

∫ t sin ⁡ n t d t = - t n cos ⁡ n t + 1 n ∫ cos ⁡ n t d t

∫ t sin ⁡ n t d t = - t n cos ⁡ n t + 1 n 2 s i n ⁡ ( n t )

Então:

b n = - 2 π - t n cos ⁡ n t + 1 n 2 sin ⁡ n t 0 π

b n = - 2 π   - π n cos ⁡ π n + 1 n 2 sin ⁡ π n

Só que sin ⁡ π n = 0 para qualquer n inteiro então temos:

b n = 2 n c o s ⁡ ( π n )

Para n ímpar temos:

b n = - 2 n

Então temos duas formas de escrever essa série:

f t = ∑ k = 1 ∞ - 2 π 1 n 2 cos ⁡ π n - 1 n 2 cos ⁡ n t + 2 n cos ⁡ π n s i n ⁡ ( n t )

Onde n = 2 k - 1

Com esses valores temos o seguinte gráfico:

Ou simplesmente:

f t = ∑ k = 1 ∞ 4 π n 2 cos ⁡ n t - 2 n s i n ⁡ ( n t )

O gráfico no Desmos está nesse link aqui:

https://www.desmos.com/calculator/x64ripqofu

Resposta

f t = ∑ k = 1 ∞ 4 π n 2 cos ⁡ n t - 2 n s i n ⁡ ( n t )

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