Enunciado

26- Encontre a representação da série de Fourier do sinal mostrado na Figura 17.64

Passo 1

Podemos ver no sinal do meio que o período desse sinal vai de 1   s até 6   s nos dando um período de:

T = 6 - 1 = 5   s

Portando:

ω = 2 π 5

E a onda tem o seguinte comportamento:

f t = 5 ; 1 < t < 2

f t = 10 ; 2 < t < 3

f t = 5 ; 3 < t < 4

Passo 2

Portanto a o será:

a o = 1 5 ∫ 1 2 5 d t + ∫ 2 3 10 d t + ∫ 3 4 5   d t

a o = 1 5 5 + 10 + 5 = 4

Passo 3

Agora a n será:

a n = 2 5 ∫ 1 2 5 cos ⁡ 2 n π t 5 d t + 10 ∫ 2 3 cos ⁡ 2 n π t 5 d t + ∫ 3 4 5 cos ⁡ 2 π n t 5 d t

a n = 2 ∫ 1 2 cos ⁡ 2 π n t 5 d t + 2 ∫ 2 3 cos ⁡ 2 π n t 5 d t + ∫ 3 4 cos ⁡ 2 π n t 5 d t

a n = 2 5 2 π n sin ⁡ 2 π n t 5 1 2 + 2 5 2 π n sin ⁡ 2 π n t 5 2 3 + 5 2 π n sin ⁡ 2 π n t 5 3 4

a n = 5 π n sin ⁡ 4 π n 5 - sin ⁡ 2 π n 5 + 2 sin ⁡ 6 π n 5 - 2 sin ⁡ 4 π n 5 + sin ⁡ 8 π n 5 - sin ⁡ 6 π n 5

a n = 5 π n - sin ⁡ 4 π n 5 - sin ⁡ 2 π n 5 + sin ⁡ 6 π n 5 + sin ⁡ 8 π n 5

Passo 4

Agora para calcular b n :

b n = 2 5 × 5 ∫ 1 2 sin ⁡ 2 π n t 5 d t + 2 ∫ 2 3 sin ⁡ 2 π n t 5 d t + ∫ 3 4 sin ⁡ 2 π n t 5 d t

b n = 2 - 5 2 π n cos ⁡ 2 π n t 5 1 2 + 2 - 5 2 π n cos ⁡ 2 π n t 5 2 3 + - 5 2 π n cos ⁡ 2 π n t 5 3 4

b n = - 5 π n cos ⁡ 4 π n 5 - cos ⁡ 2 π n 5 + 2 cos ⁡ 6 π n 5 - 2 cos ⁡ 4 π n 5 + cos ⁡ 8 π n 5 - cos ⁡ 6 π n 5

b n = - 5 π n - cos ⁡ 4 π n 5 + cos ⁡ 6 π n 5 - cos ⁡ 2 π n 5 + cos ⁡ 8 π n 5

Passo 5

Isso nos dá a seguinte série de Fourier.

f t = 4 + ∑ n = 1 ∞ ( 5 π n - sin ⁡ 4 π n 5 - sin ⁡ 2 π n 5 + sin ⁡ 6 π n 5 + sin ⁡ 8 π n 5 cos ⁡ n π t 5 +

- 5 π n - cos ⁡ 4 π n 5 + cos ⁡ 6 π n 5 - cos ⁡ 2 π n 5 + cos ⁡ 8 π n 5 sin ⁡ n π t 5

Nos dando o seguinte gráfico.

Trabalhoso, mais deu certo!

Resposta

f t = 4 + ∑ n = 1 ∞ ( 5 π n - sin ⁡ 4 π n 5 - sin ⁡ 2 π n 5 + sin ⁡ 6 π n 5 + sin ⁡ 8 π n 5 cos ⁡ n π t 5 +

- 5 π n - cos ⁡ 4 π n 5 + cos ⁡ 6 π n 5 - cos ⁡ 2 π n 5 + cos ⁡ 8 π n 5 sin ⁡ n π t 5

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