Enunciado

33. Calcule I no problema 10.15 utilizando a análise de malhas.

Passo 1

Fala galerinha! Vamos pra mais um problema sobre circuitos com corrente alternada.

Olha só! Todos os elementos do nosso circuito já estão na forma fasorial.

Bom pra gente, né não! Bora partir logo pra análise de malhas!

Passo 2

Nesse passo, vamos preparar o circuito pra utilizar a nossa análise de malhas. Quando digo preparar, é simplesmente nomear as correntes de malha!

E aqui está nossa bela figura:

Essa região envolta por linha pontilhada é uma supermalha!

Desse modo... Aplicando a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 1 , encontramos a seguinte equação:

j 20 + 2 I 1 - j 2 I 1 - I 2 = 0

j 20 + 2 - j 2 I 1 + j 2 I 2 = 0

1 - j I 1 + j I 2 = - j 10     ( i )

Aplicando também a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a supermalha, obtemos outra relação interessante:

j I 2 - I 4 + 4 I 3 - j 2 I 2 - I 1 = 4

j 2 I 1 - j I 2 + 4 I 3 - j I 4 = 0

j 2 I 1 - j I 2 + 4 I 3 - j I 4 = 0   ( i i )

Só que pela lei das correntes de K i r c h h o f f ( L K C ) nesse circuito, temos que:

I 3 - I 2 = 2 I = 2 ( I 1 - I 2 )

I 3 - I 2 = 2 I 1 - 2 I 2

I 3 = 2 I 1 - I 2

E quanto a corrente de malha I 4 , podemos ver facilmente, que ela é dada por:

I 4 = 5   A

Dessa maneira, pegando essas duas relações anteriores e substituindo em ( i i ) ficamos com:

j 2 I 1 - j I 2 + 4 I 3 - j I 4 = 0  

j 2 I 1 - j I 2 + 4 ( 2 I 1 - I 2 ) - j 5 = 0  

8 + j 2 I 1 - 4 + j I 2 = j 5   ( i i )

Essa é a nova equação ( i i ) !

Passo 3

Precisamos resolver assim, o seguinte sistema:

1 - j I 1 + j I 2 = - j 10     ( i ) 8 + j 2 I 1 - 4 + j I 2 = j 5   ( i i )

Que pode ser escrito na forma matricial, como:

1 - j j 8 + j 2 - 4 - j ⋅ I 1 I 2 = - j 10 j 5

Mas a questão pede pra gente usar o M a t l a b , né!

Só que a gente não tem! Xiiii

Calma! Não criemos pânico! Como não temos M a t l b a b disponível, vamos usar um outro software bastante comum na graduação dos alunos de engenharia e que se assemelha muito ao M a t l a b . É o O c t a v e   O n l i n e .

Olha só! O sistema matricial anterior é fornecido através de três matrizes. Vamos dar nomes a elas:

A = 1 - j j 8 + j 2 - 4 - j

B = - j 10 j 5  

I = I 1 I 2

A solução desse sistema, que é a matriz I , é dada no O c t a v e   O n l i n e por:

I = i n v A * B

Só que temos que adaptar essas matrizes à linguagem desse software.

A matriz A fica assim:

A = [ 1 - j , j ; 8 + 2 j , - 4 - j ]

E a matriz B :

B = - 10 j ; 5 j

O O c t a v e   O n l i n e reconhece o j , que é a tradicional notação da forma retangular, como i . Sendo assim, colocando os dados no software, obtemos as seguinte respostas:

I 1 = - 5,4412 - j 4,2647   A

I 2 = - 11,1765 - j 9,7059     A

E agora, vamos obter o valor da corrente I , que é dada por:

2 I = 2 ( I 1 - I 2 )

I = I 1 - I 2

Substituindo os valores obtidos, alcançamos nossa resposta...

I = - 5,4412 - j 4,2647 - - 11,1765 - j 9,7059     A

I = 5,7353 + j 5,4412   A

Falta apenas alterar essa corrente para o domínio da frequência, que a gente não faz nem ideia de qual é...

I = 5,7353 2 + 5,4412 2 ∠ tan - 1 ⁡ 5,4412 5,7353

I = 7,906   ∠ 43,49 °

Cumprimos nossa missão aqui! Até a próxima!

Resposta

I = 7,906   ∠ 43,49 °

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Calcule a tensão v em regime permanente.
Note que o circuito fasorial correspondente é uma ponte equilibrada e use o método do Prob. 11.18, com Z 5 substituído por um circuito aberto, para encontrar a resposta forçada v .
Calcule a resposta forçada i se v g = 4 cos ⁡ 1000 t V.
Calcule o valor de v em regime permanente.
Mostre que o circuito do Prob. 11.13 é uma ponte equilibrada com associação série de 2Ω e 1 2H , constituindo Z 5 no Prob. 11.18. Substitua Z 5 por um curto e mostre que o mesmo v é obtido como antes.