Enunciado

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44. Use o princípio da superposição para obter v x no circuito da figura 10.89 . Seja v s = 50 sen ⁡ 2 t   V e i s = 12 cos ⁡ ( 6 t + 10 ° )   A .

Passo 1

Fala galerinha! Bora pra mais um probleminha sobre superposição em circuitos C A .

Olha só! Na figura do enunciado, há a presença de uma fonte de corrente alternada e uma fonte de tensão alternada.

O que precisamos fazer pra esse caso, é analisar a influência isolada de cada fonte no circuito. Ou seja, iremos considerar cada fonte separadamente, e a corrente elétrica total em qualquer ramo do circuito é igual a soma algébrica das tensões produzidas por cada fonte atuando separadamente.

Vamos então, por a mão na massa.

Passo 2

Primeiramente, vamos retirar a fonte de tensão alternada e deixar apenas a fonte de corrente.

Antes, vamos passar os elementos pro domínio da frequência:

12 cos ⁡ ( 6 t + 10 ° ) → 12 ∠ 10 °     ,   ω = 6   r a d / s

5   H → j ω L = j ( 6 ⋅ 5 ) = j 30   Ω

Aí sim, podemos esboçar o circuito! Que vai ficar do seguinte jeito:

E para achar a tensão V 1 , primeiro calculemos a impedância total Z desse circuito, que é dada por

Z = 16 | | ( 20 + j 30 )   Ω

Z = 16 ( 20 + j 30 ) 16 + 20 + j 30

Z = 320 + j 480 36 + j 30   Ω

Z = 576,88 ∠ 53,13 ° 46,86 ∠ 39,805 °   Ω

Z = 12,31 ∠ 16,5 °

Desse modo, temos que V 1 é o produto dessa impedância Z pela corrente de 12 ∠ 10 ° :

V 1 = 12,31 ∠ 16,5 ° ⋅ 12 ∠ 10 °   V

V 1 = 147,7 ∠ 26,5 °   V

Passando pro domínio do tempo:

V 1 = 147,7 cos ⁡ ( 6 t + 26,5 ° )   V

Passo 3

Agora, vamos deixar apenas a fonte de tensão alternada e abrir o circuito no ramo onde circulando a fonte de corrente.

E já sabe, né! Primeira coisa a se fazer é passar os elementos pro domínio da frequência:

50 sen ⁡ 2 t → 50 ∠ 0 °     ,   ω = 2   r a d / s

5   H → j ω L = j 2 ⋅ 5 = j 10   Ω

Desse modo, o nosso circuito vai ficar com a seguinte cara:

E por divisão de tensão, temos que o valor de V 2 é dado por:

V 2 = 16     Ω 16 + 20 + j 10   Ω ⋅ 50 ∠ 0 °   V

V 2 = 16   36 + j 10 ⋅ 50 ∠ 0 °   V

V 2 = 16   37,363 ∠ 15,524 ° ⋅ 50 ∠ 0 °   V

V 2 = 800 ∠ 0 ° 37,363 ∠ 15,524 ° V

V 2 = 21,41 ∠ - 15,524 °   V

Passando pro domínio do tempo...

V 2 = 21,41 sen ⁡ ( 2 t - 15,524 ° )   V

Passo 4

Por fim, temos apenas que somar as correntes V 1 e V 2 . Desse modo, acharemos o valor de v x

v x = V 1 + V 2

v x = [ 147,7 cos ⁡ ( 6 t + 26,5 ° ) + 21,41 sen ⁡ ( 2 t - 15,524 ° ) ]   V

Resposta

v x = [ 147,7 cos ⁡ ( 6 t + 26,5 ° ) + 21,41 sen ⁡ ( 2 t - 15,524 ° ) ]   V

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