Enunciado

52. Para o circuito mostrado na Figura 2.116 , determine a resistência equivalente. Todos os resistores são de 3   Ω .

Passo 1

Bom! A primeira coisa que temos de fazer é destacar algumas partes importantes de nosso circuito! Vamos lá!

Essa parte alaranjada do nosso circuito tá bem fácil de entender! É uma conexão em série entre duas resistências de 3   Ω . A resistência equivalente portanto, vai valer 6   Ω . Só que essa resistência de 6   Ω está em paralelo com uma de 3   Ω , de modo que a nova resistência equivalente para esse trecho, R e q 1 , vai ser igual a:

R e q 1 = ( 3 | | 6 )     Ω

R e q 1 = 3 ⋅ 6 3 + 6   Ω

R e q 1 = 2   Ω

Já essa parte azul limitada por um quadrado, é uma conexão estrela ( Y ) , que não é a ideal para trabalharmos em nosso circuito. Por isso, façamos a transformação de Y para , esta sim mais apropriada.

Basta usar as fórmulas já prontas para a conversão de um circuito Y em . São elas:

R a = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1

R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2

R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3

Onde temos que R 1 = R 2 = R 3 = 3   Ω , o que nos leva ao seguinte resultado:

R a = R b = R c = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 3 Ω

R a = R b = R c = 9   Ω

Mas não parou por aqui! Duas dessas resistências de 9   Ω vão estar em paralelo com resistências de 3   Ω , de modo que a resistência equivalente, R e q 2 , vai ser igual a:

R e q 2 = ( 9 | | 3 )     Ω

R e q 2 = 9 ⋅ 3 9 + 3   Ω

R e q 2 = 2,25   Ω

Passo 2

E com isso, chegamos ao seguinte circuito:

E novamente temos uma conexão estrela pela frente, como podemos ver na parte destacada em azul da figura, a seguir:

Temos que novamente, fazer a conversão de estrela para delta, onde:

R 1 = R 2 = 2,25   Ω

R 3 = 3   Ω

Com isso, basta usar as equações a seguir, substituindo os valores correspondentes:

R a = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1

R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2

R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3

R a = 2,25 ⋅ 2,25 + 2,25 ⋅ 3 + 2,25 ⋅ 3 2,25   Ω

R b = 2,25 ⋅ 2,25 + 2,25 ⋅ 3 + 2,25 ⋅ 3 2,25   Ω

R c = 2,25 ⋅ 2,25 + 2,25 ⋅ 3 + 2,25 ⋅ 3 3   Ω

R a = 8,25   Ω

R b = 8,25   Ω

R c = 6,188   Ω

Passo 3

Obtido esses valores, o nosso circuito vai ficar com uma nova cara:

As resistências de 9   Ω e 6,188   Ω estão em paralelo. A resistência equivalente, R e q 3 , nesse caso é:

R e q 3 = ( 9 | | 6,188 )     Ω

R e q 3 = 9 ⋅ 6,188 9 + 6,188   Ω

R e q 3 = 3,67   Ω

As resistências de 2   Ω e 8,25   Ω estão em paralelo. A resistência equivalente, R e q 4 , nesse caso é:

R e q 4 = ( 2 | | 8,25 )     Ω

R e q 4 = 2 ⋅ 8,25 2 + 8,25   Ω

R e q 4 = 1,61   Ω

A soma dessas duas resistências anteriores, está em paralelo com essa resistência aqui de 8,25   Ω :

De modo, que a resistência equivalente, R e q 5 , para esse trecho vai valer:

R e q 5 = ( 8,25 | | ( 1,61 + 3,67 ) )     Ω

R e q 5 = 8,25 ⋅ ( 1,61 + 3,67 ) 8,25 + 1,61 + 3,67   Ω

R e q 5 = 3,22   Ω

Agora tuda está em série! Basta somar essa R e q 5 com as resistências de 3   Ω que sobraram, para obter a resistência total R e q :

R e q = R e q 5 + 3   Ω + 3   Ω

R e q = 3,22   Ω + 3   Ω + 3   Ω

R e q = 9,22   Ω

Resposta

R e q = 9,22   Ω

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