Enunciado

67. Obtenha, por inspeção, as equações de tensão nos nós para

o circuito da Figura 3.111. Em seguida, determine Vo.

Passo 1

Quando analisamos um circuito por inspeção ele deve possuir apenas fontas de corrente ou apenas fontes de tensão, nesse caso temos apenas fontes de corrente.

O tamanho da matriz é definido pela quantidade de nós que não são de referência, vamos chamar da esquerda para a direita os nós de

Nó 1: entre as duas fontes de corrente e dois resistores

Nó 2: entre 3 resistores

Nó 3: entre duas fontes de corrente e um resistor

Como nesse circuito temos 3 nós, então vamos ter uma matriz 3x3, dessa forma:

G 11 G 12 G 13 G 21 G 22 G 23 G 31 G 32 G 33 ⋅ v 1 v 2 v 3 = i 1 i 2 i 3

Passo 2

Os termos G 11 , G 22 , G 33 são a soma das condutâncias conectadas aos nós 1, 2 e 3, respectivamente:

G 11 = 1 10 + 1 4 = 0,35

G 22 = 1 4 + 1 5 + 1 2 = 0,95

G 33 = 1 2 = 0,5

Já as outras condutâncias que estão na forma G k j representam o negativo da soma das condutâncias entre os nós k e j , por exemplo:

Entre os nós 1 e 2 temos uma contutância apenas, então a contutância fica:

G 12 = G 21 - 1 4 = - 0,25

Quando os nós não apresentam nenhum condutância entre eles o valor é zero, por exemplo:

G 13 = G 31 = 0

Para nós só faltou a soma das codutâncias entre 2 e 3:

G 23 = G 32 = - 1 2

Montando a matriz temos:

0,35 - 0,25 0 - 0,25 0,95 - 0,5 0 - 0,5 0,5 ⋅ v 1 v 2 v 3 = i 1 i 2 i 3

Passo 3

Nós queremos descobrir os valores de v 1 , v 2 e v 3 . Já os valores de i 1 , i 2 e i 3 nós temos, pois essas correntes representam a soma todas as fontes de corrente conectadas a cada nó, sendo que as correntes que entram são positivas e as que saem do nó negativas. Então:

i 1 = - 5 + 3 V 0

i 2 = 0

i 3 = 10 + 5 = 15

Pelo desenho a gente sabe que:

V 0 = v 2 - v 3

Substituindo isso na equação da corrente 1:

i 1 = - 5 + 3 v 2 - v 3

i 1 = - 5 + 3 v 2 - 3 v 3

Esses resultados na Matriz fica:

0,35 - 0,25 0 - 0,25 0,95 - 0,5 0 - 0,5 0,5 ⋅ v 1 v 2 v 3 = - 5 + 3 v 2 - 3 v 3 0 15

Podemos reescrever isso como um sistema de equações para tirarmos as tensões que estão aprecendo na matriz onde não deveria ter variáveis:

0,35 v 1 - 0,25 v 2 = - 5 + 3 v 2 - 3 v 3

Só nos interessa mudar essa equação, pois ass outras duas estão no formato certo, d uma olhada:

- 0,25 v 1 + 0,95 v 2 - 0,5 v 3 = 0

- 0,5 v 2 + 0,5 v 3 = 15

Então, colocando as tensões de um lado só da equação temos:

0,35 v 1 - 3,25 v 2 + 3 v 3 = - 5

Agora sim podemos voltar para o formato de matriz:

0,35 - 3,25 3 - 0,25 0,95 - 0,5 0 - 0,5 0,5 ⋅ v 1 v 2 v 3 = - 5 0 15

Podemos resolver esse sistema com a ajuda de uma calculadora ou de algum software como o MATLAB, além de poder resolver na mão também. As tensões são iguais a:

v 1 v 2 v 3 = - 410,5 - 194,7 - 164,7

A tensão que o exerciocio quer é

V 0 = v 2 - v 3

então

V 0 = - 194,7 - - 164,7

V 0 = - 30   V

Resposta

V 0 = - 30   V

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