Enunciado

24. Use a análise nodal e o Matlab para determinar V 0 no circuito da Figura 3.73

Passo 1

No circuito acima, temos cinco nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 0 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

4   A + i 0 + i 1 = 0

E depois, aplicando a L K C para o nó 1 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 1 = i 2 + 2   A

E agora, a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

4   A = i 3 + i 4

E por último, a L K C para o nó 2 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

2   A + i 4 = i 5

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 =   v 0 2

i 1 =   v 0 -   v 1 4

i 2 =   v 1   2

i 3 =   v 3 1

i 4 =   v 3 - v 2 8

i 5 =   v 2   1

E substituindo em seguida essas correntes, nas quatro relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

4 +   v 0 2 +   v 0 -   v 1 4 = 0   ( I )   v 0 -   v 1 4 =   v 1   2 + 2   I I 4 = v 3 +   v 3 - v 2 8   I I I 2 +   v 3 - v 2 8 =   v 2   ( I V )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

3 v 0 -   v 1 = - 16   ( I )   v 0 -   3 v 1 = 8   I I 9 v 3 - v 2 = 32   I I I 9 v 2 - v 3 = 16   ( I V )

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com quatro equações, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

3 v 0 -   v 1 = - 16   ( I )   v 0 -   3 v 1 = 8   I I 9 v 3 - v 2 = 32   I I I 9 v 2 - v 3 = 16   ( I V )

Peguemos as equações ( I ) e ( I I ) :

3 v 0 -   v 1 = - 16   ( I )   v 0 -   3 v 1 = 8   I I

E bora multiplicar ( I I ) por - 3 e depois somar com a ( I ) :

3 v 0 -   v 1 = - 16   ( I ) - 3 v 0 + 9 v 1 = - 24   I I

Assim, obtemos v 1 :

8 v 1 = - 40

v 1 = - 40 8   V

v 1 = - 5   V

E para obter v 0 , bora pegar a equação ( I ) :

  v 0 =   3 v 1 + 8

  v 0 = 3 ⋅ - 5   + 8

  v 0 = - 7   V

Passo 6

Depois, vamos pegar as equações ( I I I ) e ( I V ) :

9 v 3 - v 2 = 32   I I I 9 v 2 - v 3 = 16   ( I V )

E bora multiplicar ( I I I ) por 9 e depois somar com a ( I V ) :

81 v 3 - 9 v 2 = 288   I I I 9 v 2 - v 3 = 16   ( I V )

Assim, obtemos v 3 :

80 v 3 = 304

v 3 = 304 80   V

v 3 = 3,8   V

E para obter v 2 , bora pegar a equação ( I I I ) :

9 v 3 - v 2 = 32

  v 2 =   9 v 3 - 32

  v 2 = 9 ⋅ 3,8 - 32

  v 2 = 2,2   V

Obtidas essas tensões nodais, temos tudo o que precisamos. Sabe o porquê? A tensão   V 0 é dada, ao olhar o nosso circuito, por:

  V 0 = v 3 - v 2

  V 0 = 3,8   V - 2,2   V

  V 0 = 1,6   V

Viu só! Nem precisamos de M a t l a b !

Passo 7

Mas caso tenha alguma curiosidade! Aqui está o jeito pra resolver esse problema no M a t l a b ...

Vamos escrever o sistema linear do P a s s o   4 na forma matricial! Bem! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas, pode ser escrito como:

3 - 1 0 0 1 - 3 0 0 0 0 - 1 9 0 0 9 - 1 ⋅   v 0   v 1   v 2   v 3 = - 16 8 32 16

Tudo que temos que fazer então, é usar no Matlab a seguinte relação:

V = i n v Y * I

Onde:

I = - 16 8 32 16

Y = 3 - 1 0 0 1 - 3 0 0 0 0 - 1 9 0 0 9 - 1

No M a t l a b , a matriz Y vai ficar assim:

Y = ( 3 ,   - 1 ,   0 ,   0 ; 1 , - 3,0 , 0 ; 0,0 , - 1,9 ; 0,0 , 9 , - 1 )

E I fica desse jeito:

I = ( - 16 ;   8 ; 32 , ; 16 )

E com isso, obtemos a seguinte resposta:

V = - 7 - 5 2,2 3,8

Que é a mesma coisa que conseguimos em nossos cálculos!

Finalmente, obtemos que a tensão   V 0 é dada, ao olhar o nosso circuito, por:

  V 0 = v 3 - v 2

  V 0 = 3,8   V - 2,2   V

  V 0 = 1,6   V

Viu só! Acertamos em cheio!

Resposta

  V 0 = 1,6   V

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o número de ramos e nós no circuito da figura 2.71 .
Para o gráfico de rede da figura 2.69 , determine o número de nós, ramos e laços.
No gráfico de rede mostrado na figura 2.70 , determine o número de ramos e nós.
1. Usando a Figura 3.50, elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor a análise nodal.
2. Para o circuito da figura 3.51 , obtenha v 1 e v 2 :