(a)Considere que F → 1 = x 2 z ^ e F → 2 = x x ^ + y y ^ + z z ^ . Calcule o divergente e o rotacional de F → 1 e F → 2 . Qual deles pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.

(b)Mostre que F 3 → = y z x ^ + z x y ^ + x y z ^ pode ser escrito tanto como gradiente de um escalar como o rotacional de um vetor. Encontre os potenciais escalar e vetorial para essa função.

Passo 1

Fala, galera! Mais uma questão, quem aí tá animado? Então, vamos que vamos!

(a)O divergente das duas funções é dado por

∇   ⋅ F → 1 = ∂ ∂ x ( F 1 x ) + ∂ ∂ y ( F 1 y ) + ∂ ∂ z ( F 1 z ) = ∂ ∂ x ( 0 ) + ∂ ∂ y ( 0 ) + ∂ ∂ z ( x 2 ) = 0

∇   ⋅ F → 2 = ∂ ∂ x ( F 2 x ) + ∂ ∂ y ( F 2 y ) + ∂ ∂ z ( F 2 z ) = ∂ ∂ x ( x ) + ∂ ∂ y ( y ) + ∂ ∂ z ( z ) = 1 + 1 + 1 = 3

Como o divergente de F → 1 é nulo, então F → 1 pode ser escrito como o rotacional de um potencial vetor: F → 1 = ∇ × A → . Para tentar descobrir esse potencial vamos usar a definição de rotacional

∇   × A → = ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z x ^ + ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x y ^ + ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y z ^

Então, para que F → 1 = x 2 z ^ = ∇ × A → , temos que ter

∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x = 0 , ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y = x 2  

Podemos obter as duas primeiras igualdades se A y não depender de z , A x não depender de y e A z não depender nem de x nem de y . Como A x não depende de y , ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y = x 2 ⇒ ∂ A y ∂ x = x 2 . Ou seja, A y = x 3 3 + f ( y ) , porque ainda podemos ter dependência em y . Mas, como A y = x 3 3 já é suficiente para a gente obter F → 1 = ∇ × A → , então podemos escolher A x = A z = 0 . Sendo assim, o potencial vetorial é A → = ( 0 , x 3 3 . 0 ) .

Passo 2

Já o rotacional fica da seguinte forma:

∇   × F → 1 = ∂ F 1 z ∂ y - ∂ F 1 y ∂ z x ^ + ∂ F 1 x ∂ z - ∂ F 1 z ∂ x y ^ + ∂ F 1 y ∂ x - ∂ F 1 x ∂ y z ^

∇   × F → 1 = 0 - 0 x ^ + 0 - 2 x y ^ + 0 - 0 z ^ = - 2 x y ^

∇   × F → 2 = ∂ F 2 z ∂ y - ∂ F 2 y ∂ z x ^ + ∂ F 2 x ∂ z - ∂ F 2 z ∂ x y ^ + ∂ F 2 y ∂ x - ∂ F 2 x ∂ y z ^

∇   × F → 2 = 0 - 0 x ^ + 0 - 0 y ^ + 0 - 0 z ^ = 0 →

Já que ∇   × F → 2 = 0 → , então F → 2 pode ser escrito como o divergente de um potencial escalar

F → 2 = - ∇ U ( x , y , z ) = - ∂ U ∂ x x ^ + ∂ U ∂ y y ^ + ∂ U ∂ z z ^

Então, para ter F → 2 = x x ^ + y y ^ + z z ^ , precisamos que

- ∂ U ∂ x = x ⇒ U = - x 2 2 + u ( y , z )

- ∂ U ∂ y = - ∂ u ( y , z ) ∂ y = y ⇒ u ( y , z ) = - y 2 2 + u ( z )

- ∂ U ∂ = - ∂ u ( z ) ∂ z = z ⇒ u ( z ) = - z 2 2

Recapitulando tudo, ficamos com

U = - x 2 2 - y 2 2 - z 2 2

como o potencial escalar para F → 2 .

Passo 3

(b)Agora, vamos fazer o mesmo para F 3 → = y z x ^ + z x y ^ + x y z ^ . Temos

∇   ⋅ F → 3 = ∂ ∂ x ( F 3 x ) + ∂ ∂ y ( F 3 y ) + ∂ ∂ z ( F 3 z ) = ∂ ∂ x ( y z ) + ∂ ∂ y ( z x ) + ∂ ∂ z ( x y ) = 0

∇   × F → 3 = ∂ F 3 z ∂ y - ∂ F 3 y ∂ z x ^ + ∂ F 3 x ∂ z - ∂ F 3 z ∂ x y ^ + ∂ F 3 y ∂ x - ∂ F 3 x ∂ y z ^

∇   × F → 3 = x - x x ^ + y - y y ^ + z - z z ^ = 0 →

Ou seja, F 3 → pode ser escrito tanto como gradiente de um escalar como o rotacional de um vetor. Para o potencial vetorial

∇   × B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z x ^ + ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x y ^ + ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y z ^

precisamos que

∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z = y z ⇒ B z = y 2 z 4 + a ( x , z ) , B y = - y z 2 4 + b ( x , y )  

∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x = z x ⇒ B x = z 2 x 4 + c ( x , y ) ,   B z = - x 2 z 4 + d ( y , z )

∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y = x y ⇒ B y = x 2 y 4 + e ( y , z ) ,   B x = - y 2 x 4 + f ( x , z )

Juntando tudo, vemos por exemplo que c ( x , y ) = - y 2 x 4 e f ( x , z ) = z 2 x 4 de modo que

B x = z 2 x 4 - y 2 x 4

De forma semelhante, podemos obter

B y = x 2 y 4 - y z 2 4

B z = y 2 z 4 - x 2 z 4

Para o potencial escalar, temos que ter

F → 3 = - ∇ V ( x , y , z ) = - ∂ V ∂ x x ^ + ∂ V ∂ y y ^ + ∂ V ∂ z z ^ = y z x ^ + z x y ^ + x y z ^

Então,

∂ V ∂ x = y z ⇒ V = x y z

∂ V ∂ y = z x ⇒ V = x y z

∂ V ∂ z = x y ⇒ V = x y z

Ou seja, V = x y z é o potencial escalar que queremos.

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.