(a)Considere que e . Calcule o divergente e o rotacional de e . Qual deles pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.
(b)Mostre que pode ser escrito tanto como gradiente de um escalar como o rotacional de um vetor. Encontre os potenciais escalar e vetorial para essa função.
Passo 1
Fala, galera! Mais uma questão, quem aí tá animado? Então, vamos que vamos!
(a)O divergente das duas funções é dado por
Como o divergente de é nulo, então pode ser escrito como o rotacional de um potencial vetor: . Para tentar descobrir esse potencial vamos usar a definição de rotacional
Então, para que , temos que ter
Podemos obter as duas primeiras igualdades se não depender de , não depender de e não depender nem de nem de . Como não depende de , . Ou seja, , porque ainda podemos ter dependência em . Mas, como já é suficiente para a gente obter , então podemos escolher . Sendo assim, o potencial vetorial é .
Passo 2
Já o rotacional fica da seguinte forma:
Já que , então pode ser escrito como o divergente de um potencial escalar
Então, para ter , precisamos que
Recapitulando tudo, ficamos com
como o potencial escalar para .
Passo 3
(b)Agora, vamos fazer o mesmo para . Temos
Ou seja, pode ser escrito tanto como gradiente de um escalar como o rotacional de um vetor. Para o potencial vetorial
precisamos que
Juntando tudo, vemos por exemplo que e de modo que
De forma semelhante, podemos obter
Para o potencial escalar, temos que ter
Então,
Ou seja, é o potencial escalar que queremos.
Isso é tudo pessoal! Até a próxima!
Resposta
Veja a resolução acima.