a) A água rasa é não dispersiva; as ondas viajam a uma velocidade que é proporcional à raíz quadrada da profundidade. Em águas profundas, no entanto, as ondas não conseguem ‘sentir’ até o fundo – elas se comportam como se a profundidade fosse proporcional a λ . (Na realidade, a própria distinção entre ‘raso’ e ‘fundo’ depende do comprimento de onda; se a profundidade for menor que λ a água é ‘rasa’; se for substancialmente maior que λ a água é ‘funda’.) Mostre que a velocidade de onda das ondas em águas profundas é o dobro da velocidade de grupo.

b) Em mecânica quântica, uma partícula livre de massa m viajando na direção x é descrita pela função de onda

Ψ x , t = A e i p x - E t h

Onde p é o momento e E = p 2 2 m é a energia cinética. Calcule a velocidade de grupo e a velocidade de onda. Qual corresponde à velocidade clássica da partícula? Observe que a velocidade de onda é a metade da velocidade de grupo.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Para este caso, a velocidade de fase é agora proporcional ao quadrado do comprimento de onda da onda:

v = α λ

Portanto, a velocidade do grupo é dada por

v g = d ω d k = d d k v k = v + k d v d k

Desenvolvendo um pouco mais, nós obtemos o seguinte resultado

v g = α λ + k α 2 λ d λ d k  

Como λ = 2 π k , temos

v g = α λ + 2 π λ α 2 λ - 2 π k 2 = α λ - 2 π λ α 2 λ 2 π λ 2 π 2

Com isso,

v g = α λ - 1 2 α λ = 1 2 α λ

Portanto,

v g = 1 2 v

Como nos foi pedido para provar 😊.

Passo 2

B - Podemos ver claramente que o papel do número de onda é tomado por p / h , e a frequência E / h . Com isso, a velocidade de fase é:

v = ω k = E h p h = E p

Com isso,

v = 1 2 p m

Desde que E = 1 2 m v 2 = 1 2 m p 2 , a velocidade de grupo é igual a

v g = d ω d k = d E h d p h = d E d p

Logo, desenvolvendo um pouco mais

v g = d d p p 2 2 m = p m

A velocidade de grupo corresponde à velocidade clássica, pois p = m v no modelo clássico.

Resposta

a )   v = 1 2 p m

b )   v = 1 2 p m   e   v g = p m