A altura de um certo morro (em pés) é dada por
onde é a distância (em milhas) para o norte e a distância para o leste de South Hadley.
- Onde fica o topo do morro?
- Que altura tem o morro?
- Quão íngreme é a inclinação (em pés por milha) em um ponto 1 milha ao norte e 1 milha a leste de South Hadley? Em que direção a inclinação é mais acentuada, nesse ponto?
Passo 1
Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o gradiente de uma função, pois iremos precisar dele.
Então, vamos começar!
Passo 2
- Onde fica o topo do morro?
- Que altura tem o morro?
- Quão íngreme é a inclinação (em pés por milha) em um ponto 1 milha ao norte e 1 milha a leste de South Hadley? Em que direção a inclinação é mais acentuada, nesse ponto?
Vamos lembrar do conceito de ponto máximo de uma função, que é quando a sua derivada é igual a zero. Logo, com o gradiente da função, encontraremos os valores de e onde a derivada é zero, sendo assim, o pico do morro.
Achando o gradiente da função:
Então:
Logo, temos que o morro tem sua maior altura nas coordenadas .
Passo 3
Agora que sabemos o ponto em que o morro tem maior altura, aplicamos ele na função que representa a altura:
Assim:
Passo 4
Bem, vamos encontrar a curva de nível relacionada a essa coordenada:
Essa é a altura no morro nesse ponto.
Para sabermos quão íngreme é a inclinação nesse local, iremos encontrar o módulo do vetor gradiente nesse ponto.
Portanto, no ponto , a inclinação é mais acentuada na direção , ou seja, noroeste.
E o quão íngreme é essa inclinação, é dado pela norma desse vetor:
Resposta
- Inclinação no ponto é de , sendo mais acentuada na direção noroeste.
E aí, compreendeu a funcionalidade e uso do vetor gradiente?Ficou com alguma dúvida?