A altura de um certo morro (em pés) é dada por

h x ,   y = 10 2 x y - 3 x 2 - 4 y 2 - 18 x + 28 y + 12

onde y é a distância (em milhas) para o norte e x a distância para o leste de South Hadley.

  1. Onde fica o topo do morro?
  2. Que altura tem o morro?
  3. Quão íngreme é a inclinação (em pés por milha) em um ponto 1 milha ao norte e 1 milha a leste de South Hadley? Em que direção a inclinação é mais acentuada, nesse ponto?

Passo 1

Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o gradiente de uma função, pois iremos precisar dele.

∇ f x ,   y ,   z = f x ,   y ,   z ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

Então, vamos começar!

Passo 2

  1. Onde fica o topo do morro?
  2. Vamos lembrar do conceito de ponto máximo de uma função, que é quando a sua derivada é igual a zero. Logo, com o gradiente da função, encontraremos os valores de x e y onde a derivada é zero, sendo assim, o pico do morro.

    Achando o gradiente da função:

    ∇ f x ,   y ,   z = h x ,   y ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j →

    ∇ h x ,   y ,   z = 10 2 x y - 3 x 2 - 4 y 2 - 18 x + 28 y + 12 ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j →

    ∇ h x ,   y ,   z = 20 x y - 30 x 2 - 4 0 y 2 - 180 x + 280 y + 120 ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j →

    ∇ h x ,   y ,   z = 20 y - 60 x - 180 i → + 20 x - 80 y + 280 j →

    ∇ h x ,   y ,   z = 0

    20 y - 60 x - 180 i → = 0

    20 y = 180 + 60 x

    y = 9 + 3 x

    20 x - 80 y + 280 j → = 0

    20 x - 80 9 + 3 x + 280 = 0

    20 x - 720 - 240 x + 280 = 0

    - 220 x - 440 = 0

    x = - 440 220 = - 2

    Então:

    y = 9 + 3 - 2

    y = 3

    Logo, temos que o morro tem sua maior altura nas coordenadas ( - 2 i → ,   3 j → ) .

    Passo 3

  3. Que altura tem o morro?
  4. Agora que sabemos o ponto em que o morro tem maior altura, aplicamos ele na função que representa a altura:

    h ( x ,   y ) = 10 2 x y - 3 x 2 - 4 y 2 - 18 x + 28 y + 12

    Assim:

    h - 2 ,   3 = 10 2 - 2 3 - 3 - 2 2 - 4 3 2 - 18 - 2 + 28 3 + 12

    h - 2 ,   3 = 10 - 12 - 12 - 36 + 36 + 84 + 12

    h - 2 ,   3 = 10 72

    h - 2 ,   3 = 720   [ p é s ]

    Passo 4

  5. Quão íngreme é a inclinação (em pés por milha) em um ponto 1 milha ao norte e 1 milha a leste de South Hadley? Em que direção a inclinação é mais acentuada, nesse ponto?

Bem, vamos encontrar a curva de nível relacionada a essa coordenada:

h 1,1 = 10 2 1 1 - 3 1 2 - 4 1 2 - 18 1 + 28 1 + 12

h 1 ,   1 = 10 2 - 3 - 4 - 18 + 28 + 12

h 1 ,   1 = 10 17

h 1 ,   1 = 170   [ p é s ]

Essa é a altura no morro nesse ponto.

Para sabermos quão íngreme é a inclinação nesse local, iremos encontrar o módulo do vetor gradiente nesse ponto.

∇ h 1 ,   1 = 20 ( 1 ) - 60 ( 1 ) - 180 i → + 20 ( 1 ) - 80 ( 1 ) + 280 j →

∇ h 1 ,   1 = - 220 i → + 220 j →

Portanto, no ponto ( 1 ,   1 ) , a inclinação é mais acentuada na direção ( - 220 i → ,   220 j → ) , ou seja, noroeste.

E o quão íngreme é essa inclinação, é dado pela norma desse vetor:

∇ h 1 ,   1 = - 220 2 + 220 2

∇ h 1 ,   1 = 96800

∇ h 1 ,   1 = 311,12   [ p é s / m i l h a ]

Resposta

  1. ( - 2 i → ,   3 j → )
  2. h - 2 ,   3 = 720   [ p é s ]
  3. Inclinação no ponto ( 1 ,   1 ) é de 311,12   [ p é s / m i l h a ] , sendo mais acentuada na direção noroeste.

E aí, compreendeu a funcionalidade e uso do vetor gradiente?Ficou com alguma dúvida?