No seu 21 º aniversário, a gêmea sobe em uma calçada rolante que a leva à estrela X à velocidade 4 5 c ; seu irmão gêmeo fica em casa. Quando a irmã que viajou chega à estrela X , ela imediatamente pula para a calçada rolante de volta e retorna à Terra, novamente à velocidade de 4 5 c . Ela chega no seu 39 º aniversário (conforme seu próprio relógio).

(a) Que idade tem seu irmão gêmeo (que ficou em casa)?

(b) A que distância fica a estrela X ? (Dê sua resposta em anos luz.)

Vamos chamar o sistema da calçada rolante de ida de S - e o da calçada de volta de S ~ (o sistema da Terra é S ). Os três sistemas ajustam os relógios mestres e escolhem suas origens, de forma que x = x - = x ~ = 0 ,   t = t - = t ~ = 0 no momento da partida.

(c) Quais são as coordenadas ( x ,   t ) do pulo (da calçada de ida para a calçada de volta) em S ?

(d) Quais são as coordenadas x - ,   t - do pulo em S - ?

(e) Quais são as coordenadas x ~ ,   t ~ do pulo em S ~ ?

(f) Se a gêmea que viajou quisesse que seu relógio de pulso estivesse de acordo com o relógio em S ~ , como ela teria que reajustá-lo imediatamente após o pulo? Se ela fizesse isso, o que seu relógio marcaria quando ela chegasse em casa? (Isso não mudaria sua idade, é claro – ela ainda teria 39 anos – apenas faria com que seu relógio concordasse com a sincronização padrão em S ~ .)

(g) Se fosse perguntado à gêmea que viajou, ‘Que idade tem seu irmão agora?’, qual seria a resposta correta (i) pouco antes de ela pular, (ii) pouco depois de ela pular? (Nada de dramático acontece com o irmão na fração de segundo entre (i) e (ii), é claro; o que muda abruptamente é a noção da irmã quanto ao significado de ‘agora, lá em casa’.)

(h) Quantos anos da Terra demora a viagem de volta? Some isso a (ii) e (g) para determinar que idade ela espera que ele tenha quando eles reencontrarem. Compare sua resposta a (a).

Passo 1

(a) O relógio em movimento funciona devagar, por um fator γ = 1 1 - 4 5 2 = 5 3 . Desde que 18 anos se passaram no relógio em movimento, 5 3 × 18 = 30 anos se passaram no relógio estacionário.

Logo, ele tem 51 anos.

Passo 2

(b) Pelo relógio da Terra, levou 15 anos para chegar lá. Em 4 5 c , então

d = 4 5 c × 15   a n o s = 12 c   a n o s

12 anos luz.

(c) t = 15   a n o s ,   x = 12 c   a n o s

(d) t - = 9   a n o s ,   x - = 0 . [Ela entrou na origem em S - , e andou junto com S ~ , então ela ainda está na origem. Se você duvida desses valores, use as transformações de Lorentz, com x e t de (c).]

Passo 3

(e) Transformações de Lorentz:

x - = γ x + v t t - = γ t + v c 2 x

(Observe que v é negativo, desde que S ~ está indo para a esquerda.)

∴ x ~ = 5 3 12 c   a n o s + 4 5 c ∙ 15   a n o s = 5 3 ∙ 24 c   a n o s = 40 c   a n o s

t - = 5 3 15   a n o s + 4 5 c c 2 ∙ 12 c   a n o s = 5 3 15 + 48 5   a n o s = 25 + 16   a n o s = 41   a n o s

(f) Coloque seu relógio à frente 32 anos, de 9 a 41 ( t - →   t ~ ) . A viagem de volta leva 9 anos (tempo de movimento), então seu relógio agora lerá 50 anos em sua chegada. Note que isso é 5 3 ∙ 30   a n o s - precisamente o que ela calcularia se a estadia em casa tivesse sido o viajante, por 30 anos de seu próprio tempo.

(g) (i)

t - = 9   a n o s ,   x = 0

O que é t ?

t = v c 2 x + t - γ = 3 5 ∙ 9 = 27 5 = 5,4   a n o s

Ela começou aos 21 anos, então ele tem 26,4 anos.

(ii) t ~ = 41   a n o s ,   x = 0 .

t = t ~ γ = 3 5 ∙ 41 = 123 5 = 24,6   a n o s

Ela começou com 21 e ele tem 45,6 anos.

Passo 4

(h) Levará mais 5,4 anos terrestres para o retorno, então quando ela voltar, ela dirá que a idade de seu gêmeo é 45,6+5,4=51 anos - que é o que encontramos em (a). Mas note que para fazê-lo funcionar do ponto de vista do viajante você deve levar em conta o salto na idade percebida de ficar em casa quando ela muda as coordenadas de S - para S ~ .

Resposta

Ver Passos 1, 2, 3 e 4.