No seu aniversário, a gêmea sobe em uma calçada rolante que a leva à estrela à velocidade ; seu irmão gêmeo fica em casa. Quando a irmã que viajou chega à estrela , ela imediatamente pula para a calçada rolante de volta e retorna à Terra, novamente à velocidade de . Ela chega no seu aniversário (conforme seu próprio relógio).
(a) Que idade tem seu irmão gêmeo (que ficou em casa)?
(b) A que distância fica a estrela ? (Dê sua resposta em anos luz.)
Vamos chamar o sistema da calçada rolante de ida de e o da calçada de volta de (o sistema da Terra é ). Os três sistemas ajustam os relógios mestres e escolhem suas origens, de forma que no momento da partida.
(c) Quais são as coordenadas do pulo (da calçada de ida para a calçada de volta) em ?
(d) Quais são as coordenadas do pulo em ?
(e) Quais são as coordenadas do pulo em ?
(f) Se a gêmea que viajou quisesse que seu relógio de pulso estivesse de acordo com o relógio em , como ela teria que reajustá-lo imediatamente após o pulo? Se ela fizesse isso, o que seu relógio marcaria quando ela chegasse em casa? (Isso não mudaria sua idade, é claro – ela ainda teria 39 anos – apenas faria com que seu relógio concordasse com a sincronização padrão em .)
(g) Se fosse perguntado à gêmea que viajou, ‘Que idade tem seu irmão agora?’, qual seria a resposta correta (i) pouco antes de ela pular, (ii) pouco depois de ela pular? (Nada de dramático acontece com o irmão na fração de segundo entre (i) e (ii), é claro; o que muda abruptamente é a noção da irmã quanto ao significado de ‘agora, lá em casa’.)
(h) Quantos anos da Terra demora a viagem de volta? Some isso a (ii) e (g) para determinar que idade ela espera que ele tenha quando eles reencontrarem. Compare sua resposta a (a).
Passo 1
(a) O relógio em movimento funciona devagar, por um fator . Desde que 18 anos se passaram no relógio em movimento, anos se passaram no relógio estacionário.
Logo, ele tem 51 anos.
Passo 2
(b) Pelo relógio da Terra, levou 15 anos para chegar lá. Em , então
12 anos luz.
(c)
(d) . [Ela entrou na origem em , e andou junto com , então ela ainda está na origem. Se você duvida desses valores, use as transformações de Lorentz, com e de (c).]
Passo 3
(e) Transformações de Lorentz:
(Observe que é negativo, desde que está indo para a esquerda.)
(f) Coloque seu relógio à frente 32 anos, de 9 a 41 A viagem de volta leva 9 anos (tempo de movimento), então seu relógio agora lerá 50 anos em sua chegada. Note que isso é - precisamente o que ela calcularia se a estadia em casa tivesse sido o viajante, por 30 anos de seu próprio tempo.
(g) (i)
O que é ?
Ela começou aos 21 anos, então ele tem 26,4 anos.
(ii) .
Ela começou com 21 e ele tem 45,6 anos.
Passo 4
(h) Levará mais 5,4 anos terrestres para o retorno, então quando ela voltar, ela dirá que a idade de seu gêmeo é 45,6+5,4=51 anos - que é o que encontramos em (a). Mas note que para fazê-lo funcionar do ponto de vista do viajante você deve levar em conta o salto na idade percebida de ficar em casa quando ela muda as coordenadas de para .
Resposta
Ver Passos 1, 2, 3 e 4.