Aplique a teoria dos modos TM a um guia de onda retangular. Encontre, especialmente, o campo elétrico longitudinal, as frequências de corte e as velocidades de onda e de grupo. Encontre a razão entre a frequência de corte TM mais baixa e a frequência de corte TE mais baixa para um guia de onda lado. [Cuidado: qual é o modo TM mais baixo?]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, para o modo TM, nós temos que B z = 0 , então nós resolvemos a primeira parcela da equação 9.181

∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ω c 2 - k 2 E z = 0

Como a condição de fronteira E → | | = 0 , significando que E z = 0 na fronteira do guia de onda, isto se traduz em:

E z x , b = E z x , 0 = E z 0 , y = E z a , y = 0

Como é uma EDP, vamos tentar linearizar a mesma, por quê? Porque conseguimos transformar em um produto de EDO, logo, um pouco mais simples de resolver, para isso, vamos assumir que E z = X x Y ( y ) , então, nós temos que:

X ' ' X + Y ' ' Y = - ω c 2 + k 2

- k x 2 - k y 2 = - ω c 2 + k 2

Um bom palpite seria esse aqui

X y = A cos ⁡ ( k x x ) + B sen ⁡ ( k x x )

Y y = C cos ⁡ k y y + D sen ⁡ ( k y y )

Aplicando as condições de fronteira, o que implica em

E z x , 0 = 0 → C = 0

E z 0 , y = 0 → A = 0

E z x , b = 0 → k y = m π b

E z a , y = 0 → k x = n π a

Onde m e n são inteiros maiores que zero, caso contrário a solução será igual a zero. Portanto, o componente z do campo é igual a

E z = X Y = E 0 sen ⁡ n π x a sen ⁡ m π y b

Passo 2

As frequências de corte são:

ω c 2 - k 2 - k x 2 - k y 2 = 0

Sendo

ω = c k 2 + n π a 2 + m π b 2 = c k 2 + ω m n 2 c 2

Simplificando um pouco mais as coisas, nós temos que

ω = c k 2 + ω m n 2 c 2

Logo, nós temos que

ω m n = c π n 2 a 2 + m 2 b 2

A frequência de corte mais baixa é, como mencionamos, o modo (1,1), então:

ω 11 = c π 1 a 2 + 1 b 2

A velocidade da onda e a velocidade de grupo são as seguintes:

v = ω k = ω 1 c ω 2 - ω m n 2 = c 1 - ω m n ω 2

A velocidade de grupo é dada por

v g = d ω d k = d d k c k 2 + ω m n c 2 = c k k 2 + ω m n c 2 = c k ω c

Com isso, nós temos que

v g = c 2 v = c 1 - ω m n ω 2

Passo 3

Finalmente, a razão da menor frequência de corte de TE para a menor frequência de corte de TM é:

ω 11 ω 10 = c π 1 a 2 + 1 b 2 c π / a = 1 + a b 2

Resposta

E z = E 0 sen ⁡ n π x a sen ⁡ m π y b

ω m n = c π n 2 a 2 + m 2 b 2 ;     ω 11 = c π 1 a 2 + 1 b 2

v = c 1 - ω m n ω 2 ; v g =   c 1 - ω m n ω 2

ω 11 ω 10 = 1 + a b 2