Enunciado

Após estar aberta por um dia, a chave do circuito da Figura 8.99 é fechada em t = 0 . Determine a equação diferencial descrevendo i ( t ) , t > 0 .

Passo 1

Pessoal, vamos lá! O circuito passa um dia inteiro com a chave aberta, com a fonte de tensão alimentando apenas a carga resistiva e a capacitiva. Em regime permanente, o capacitor se comporta como um circuito aberto! Assim, para o instante t = 0 - , temos:

i 0 - = 0

v c 0 - = 120   V

Quando a chave fecha em t = 0 , temos o seguinte circuito:

Passo 2

Vamos aqui fazer uma análise nodal para a corrente. No nó 1, chega a corrente i T que se separa em duas: i C e i , certo? Vamos escrever essa equação.

i T = i C + i

A corrente i T pode ser escrita como a diferença de tensão entre a fonte e o nó, dividida pela resistência.

120 - v R = i C + i

A corrente no capacitor pode ser escrita como i C = C d v d t . Logo,

120 - v R = C d v d t + i

120 - v = R C d v d t + i R

No entanto, a tensão no nó 1 é igual a tensão em cima do indutor, o que nos leva a escrever v L = v = L d i d t . Substituindo essa equação na anterior, temos:

120 - L d i d t = R C d 2 i d t 2 + i R

120 = L d i d t + R C d 2 i d t 2 + i R

Substituindo os valores de R ,   L e C :

120 = 1 4 d i d t + 80 × 10 × 10 - 3 d 2 i d t 2 + 80 i

d 2 i d t 2 + 0,125 d i d t + 400 i = 600

Resposta

A equação é:

d 2 i d t 2 + 0,125 d i d t + 400 i = 600

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