Enunciado

Um acionador de airbag para automóvel é modelado pelo circuito mostrado na Figura 8.122 . Determine o tempo necessário para a tensão no acionador atingir seu primeiro pico após mudar da posição A para B . Seja R = 3   Ω ,   C = 1 30 F e L = 60   m H .

Passo 1

Pessoal, vamos dividir a solução em dois momentos aqui. Quando t ≤ 0 , a chave está na posição A e as condições do regime permanentes são válidas. O capacitor se comporta como um circuito aberto nos levando a concluir que

v C t = 12   V ,   t ≤ 0

v C 0 = 12   V … ( 1 )

Além disso, a corrente que passa tanto pelo indutor quanto pelo resistor em t ≤ 0 são iguais a:

i L 0 = i R 0 = 0 … ( 2 )

Passo 2

Quando t > 0 , a chave troca para a posição B , criando um circuito R L C paralelo. Podemos aqui encontrar os valores para α e ω 0 , a fim de encontrarmos a solução.

α = 1 2 R C = 1 2 × 3 × 1 30 = 5 r a d s … 3

ω 0 = 1 L C = 1 60 × 10 - 3 × 1 30 = 22,36 r a d s … ( 4 )

Como ω 0 > α , nosso circuito é subamortecido e a frequência de amortecimento é dada por:

ω d = 22,36 2 - 5 2 = 21,79 r a d s … ( 5 )

Passo 3

A tensão pode ser escrita como:

v t = e - α t A 1 cos ⁡ ω d t + A 2 sen ⁡ ω d t … 6

Para t = 0 ,

v 0 = A 1 cos ⁡ 0 + A 2 sin ⁡ 0

12 = A 1 … 7

Do nosso circuito resultante quando t > 0 , vamos aplicar a lei dos nós no nó do indutor quando t = 0 :

i C 0 + i L 0 + i R 0 = 0

C d v c 0 d t = - i R ( 0 )

Porém,

i R = v C 0 - i R 0 R R

C d v c 0 d t = - v C 0 - i R 0 R R

1 30 d v C 0 d t = - 12 - 0 3

d v C 0 d t = - 120 V s … ( 8 )

Passo 4

Se derivarmos a equação ( 6 ) ,

d v t d t = - A 1 α cos ⁡ ω d t e - α t - A 1 ω d sin ⁡ ω d t e - α t - A 2 α sin ⁡ ω d t e - α t + A 2 ω d cos ⁡ ω d t e - α t

Quando t = 0 ,

d v 0 d t = - A 1 α + A 2 ω d

- 120 = - 60 + 21,79 A 2

A 2 = - 2,75 … 9

Substituindo ( 9 ) e ( 7 ) em ( 6 ) :

v t = e - 5 t 12 cos ⁡ 21,79 t - 2,75 sin ⁡ 21,79 t

Para encontrarmos o pico, basta derivarmos v ( t ) e igualarmos a zero:

d v t d t = 0 → 0 = - 119,92 cos ⁡ 21,79 t - 247,73 sin ⁡ 21,79 t e - 5 t

247.73 sin ⁡ 21,79 t = - 119,92 cos ⁡ 21,79 t

- 247,73 119,92 sin ⁡ 21,79 t cos ⁡ 21,79 t = 1

tan ⁡ 21,79 t = - 0,484

Aplicando a função inversa da tangente, temos:

21,79 t = arctan ⁡ - 0,484

t = 20,69   m s  

Resposta

O tempo é igual a:

t = 20,69   m s

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Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t0 .
Para o circuito da Figura 8.89 , determine i ( t ) para t0 .
Para o circuito da Figura 8.85 , determine i ( t ) para t0 .
A resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo é v = 10 + 20 e - 300 t cos ⁡ 400 t - 2 sen ⁡ 400 tV ,t ≥ 0 quando o indutor é de 50m H . Determine ReC .
Determine v ( t ) para t0 no circuito da Figura 8.98 .