Aqui estão duas verificações bonitas para os teoremas fundamentais:
(a) Combine o Corolário 2 para o teorema do gradiente com o teorema de Stokes (, neste caso). Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabia sobre as segundas derivadas.
(b) Combine o Corolário 2 para o teorema de Stokes com o teorema do divergente. Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabia.
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Nesta questão vamos usar alguns conceitos fundamentais do teorema dos gradientes.
Para a letra (a). O Teorema de Stokes nos dá a seguinte equação:
Supondo que é o gradiente de uma função escalar: .
Então, a parte direita da equação tem de ser igual a zero pelo Corolário 2 (qualquer gradiente é um campo vetorial conservativo, então a integral de linha dele é zero). O lado direito é zero pela identidade 10 (O rotacional de qualquer gradiente é zero).
Passo 2
O teorema do divergente ou teorema de Gauss tem a seguinte equação:
Supondo que é um rotacional de outra função vetorial: .
Então, do lado direito da equação a Identidade 9 diz que o divergente de qualquer rotacional é zero. E para o lado direito, o Corolário 2 diz que a linha de fronteira para uma superfície fechada é um ponto. Logo:
Resposta
Resolução nos passos anteriores.