Aqui estão duas verificações bonitas para os teoremas fundamentais:

(a) Combine o Corolário 2 para o teorema do gradiente com o teorema de Stokes ( v = ∇ T , neste caso). Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabia sobre as segundas derivadas.

(b) Combine o Corolário 2 para o teorema de Stokes com o teorema do divergente. Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabia.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Nesta questão vamos usar alguns conceitos fundamentais do teorema dos gradientes.

Para a letra (a). O Teorema de Stokes nos dá a seguinte equação:

∫ ∫ S ( ∇ × v ) . d S = ∮ v . d l

Supondo que v é o gradiente de uma função escalar: v = ∇ u .

∫ ∫ S ( ∇ × ( ∇ u ) ) . d S = ∮ ( ∇ u ) . d l

Então, a parte direita da equação tem de ser igual a zero pelo Corolário 2 (qualquer gradiente é um campo vetorial conservativo, então a integral de linha dele é zero). O lado direito é zero pela identidade 10 (O rotacional de qualquer gradiente é zero).

Passo 2

O teorema do divergente ou teorema de Gauss tem a seguinte equação:

∫ ∫ ∫ D ∇ . v d V = ∯ v d S

Supondo que v é um rotacional de outra função vetorial: v = ∇ × v .

∫ ∫ ∫ D ∇ . ( ∇ × v ) d V = ∯ ( ∇ × v ) d S

Então, do lado direito da equação a Identidade 9 diz que o divergente de qualquer rotacional é zero. E para o lado direito, o Corolário 2 diz que a linha de fronteira para uma superfície fechada é um ponto. Logo:

∫ ∫ ∫ D ( 0 ) d V = ∫ 0 0 u ( l t . l ' ( t ) d t

Resposta

Resolução nos passos anteriores.