Enunciado

Assumindo um amortecimento desprezível ( γ j = 0 ) , calcule a velocidade de grupo v g = d ω d k das ondas descritas pelas equações 9.166 e 9.169. Mostre que v g < c , mesmo quando v > c .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O número de onda na equação 9.169 é dado por

k = ω c ϵ r = ω c 1 + N q 2 2 m ϵ 0 ∑ j f j ω j 2 - ω 2 - i γ j ω

Além disso, nos é dada a velocidade de grupo por

v g = d ω d k = 1 d k d ω

Vamos determinar a derivada d k d ω , com isso, nós temos que

d k d ω = 1 c 1 + N q 2 2 m ϵ 0 ∑ f j ω j 2 - ω 2 + ω ∑ f j - - 2 ω ω j 2 - ω 2 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

d k d ω = 1 c 1 + N q 2 2 m ϵ 0 ∑ f j ω j 2 + ω 2 ω j 2 - ω 2 2

Passo 2

Assim, tomamos a recíproca para obter a velocidade por

v g = c 1 + N q 2 2 m ϵ 0 ∑ f j ω j 2 + ω 2 ω j 2 - ω 2 2 - 1

Dentro dos colchetes, o sinal será sempre positivo, então a velocidade de grupo será menor que c mesmo que v > c

Resposta

v g = c 1 + N q 2 2 m ϵ 0 ∑ f j ω j 2 + ω 2 ω j 2 - ω 2 2 - 1