(a)Um longo tubo de metal de corte transversal quadrado (lado ) está com três lados aterrados, enquanto o quarto (que está isolado dos demais) é mantido num potencial constante . Encontre a carga líquida por unidade de comprimento no lado oposto a . [Dica: aproveite sua resposta do Problema 3.14 ou Problema 3.47]
(b) Um longo tubo de metal de corte transversal circular (raio ) está dividido (no sentido do comprimento) em quatro seções iguais, três das quais são aterradas, enquanto a quarta é mantida a um potencial constante . Encontre a carga líquida por unidade de comprimento no lado oposto a . [Resposta para ambos (a) e (b): ]
Passo 1
Fala, galera! Essa questão vai ser um pouquinho longa mas não se preocupe não que a gente Responde Aí juntos.
(a) Bom, lá do exercício 3.14, a gente sabe que o potencial para um tubo de corte transversal quadrado é dado por
Podemos usar esse resultado para obter a densidade de carga na superfície do tubo (Eq. 2.49 para ):
Passo 2
Então, para calcular a carga líquida por unidade de comprimento, usamos a fórmula
Vamos calcular a integral separadamente. Começamos com a mudança de variáveis . Então, , quando e quando . Assim, temos:
Aqui é o seguinte, pessoal: quando (ou seja, quando for par), temos . Quando (ou seja, quando for ímpar), temos . Esse é exatamente o mesmo comportamento de . Então,
Como o somatório é só para ímpar, já podemos escrever que a integral resulta em . Assim, ficamos com
Quando a gente joga essa série no WolframAlpha, ele retorna o número que é justamente . Então, a gente fica com
Check!
Passo 3
(b)Belezinha até aqui? Então vamos pro próximo item, seguindo o mesmo raciocínio. Lá no Problema 3.23, a gente conseguiu a seguinte expressão para o potencial num longo tubo circular:
Essa é a solução geral, ok? Nós queremos calcular esse potencial dentro do tubo para obter a carga líquida no lado oposto a . Mas dentro do tubo, quando , as funções e explodem. Então, nessa região, temos que ter para ficar tudo bem definido. Além disso, quando olhamos a seção transversal do tubo, temos três quartos do tubo aterrados e um em . Supondo que a porção com potencial seja , então temos que ter . Quando colocamos essa propriedade na fórmula do potencial, obtemos
A gente já sabe que mas . Então, a única forma de satisfazer a condição , é se . Já que , então a gente fica somente com
Os coeficientes “sumiram” porque eles foram incorporados a . Aqui, já podemos inserir no somatório porque :
Passo 4
Agora, vamos usar o fato de que na superfície do tubo temos se e nos demais casos. Ou seja,
Agora a gente vai usar o velho truque de Fourier. Não sabe o que é? Não tem problema, vamos fazer juntos. Vamos multiplicar por nos dois lados e integrar. É muito importante usar ao invés de e você já vai entender o porquê. Fazendo isso, ficamos com
A integral da direita fica desse jeito
Se , é um pouco diferente:
Passo 5
Agora, vamos usar o resultado da integral da esquerda:
Então, para , temos
Para :
No último passo nós já trocamos por para facilitar a vida. Agora que sabemos os valores dos coeficientes, a gente volta lá na expressão geral do potencial e substitui esses coeficientes:
Passo 6
Bom, isso tudo foi só pra descobrir o potencial, mas na verdade queremos a carga líquida. Então, vamos lá, temos
Como nós queremos a carga líquida no lado oposto a , ou seja, , que é equivalente a separar em dois intervalos e :
porque , sempre. Assim, temos :
Passo 7
Pronto, só falta a gente saber como fica a soma desta série usando :
Quando a gente procura por tabela de série de Taylor, encontramos
.
Então, para no lugar de , temos . Assim, nós ficamos com
Para finalizar, vamos tomar o limite (porque queremos a carga na superfície), que corresponde a :
Ufa! Conseguimos!
Resposta
Veja a resolução acima.