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Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 24

(a)Verifique a regra do produto (iv) (calculando cada termo separadamente), para as funções

A → = x x ^ + 2 y y ^ + 3 z z ^

B → = 3 y x ^ - 2 x y ^

(b)Faça o mesmo para a regra do produto (ii)

(c)Faça o mesmo para a regra (vi)

Passo 1

Tudo bem, gente? Que ótimo! Então, vamos partir para mais uma questão!

(a)Nesse primeiro item, temos que testar a relação

∇ ⋅ ( A → × B → ) = B → ⋅ ( ∇ × A → ) - A → ⋅ ( ∇ × B → )

Temos

A → × B → = x x ^ + 2 y y ^ + 3 z z ^ × 3 y x ^ - 2 x y ^ = - 2 x 2 x ^ × y ^ + 6 y 2 y ^ × x ^ + 9 y z z ^ × x ^ - 6 x z z ^ × y ^

A → × B → = - 2 x 2 z ^ - 6 y 2 z ^ + 9 y z y ^ + 6 x z x ^ = ( 6 x z , 9 y z , - 2 x 2 - 6 y 2 )

Então,

∇ ⋅ ( A → × B → ) = ∂ ( 6 x z ) ∂ x + ∂ ( 9 y z ) ∂ y + ∂ ( - 2 x 2 - 6 y 2 ) ∂ z = 6 z + 9 z + 0 = 15 z

Agora só falta calcular B → ⋅ ( ∇ × A → ) - A → ⋅ ( ∇ × B → ) e ver se obtemos 15 z também. Bora lá! Lá no final do livro a gente consegue encontrar a expressão do rotacional em coordenadas cartesianas:

∇ × A → = ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z x ^ + ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x y ^ + ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y z ^

∇ × B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z x ^ + ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x y ^ + ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y z ^

Então,

B → ⋅ ( ∇ × A → ) = B x ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z + B y ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x + B z ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y

B → ⋅ ( ∇ × A → ) = 3 y 0 - 0 + B y 0 - 0 + 0 ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y = 0

A → ⋅ ( ∇ × B → ) = A x ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z + A y ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x + A z ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y

A → ⋅ ( ∇ × B → ) = x 0 - 0 + 2 y 0 - 0 + 3 z - 2 - 3 = - 15 z

Logo,

B → ⋅ ( ∇ × A → ) - A → ⋅ ( ∇ × B → ) = 15 z

Check!

Passo 2

(b)Vamos fazer o mesmo só que agora para a regra do produto (ii):

∇ ( A → ⋅ B → ) = A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A →

No lado esquerdo, temos

A → ⋅ B → = x x ^ + 2 y y ^ + 3 z z ^ ⋅ 3 y x ^ - 2 x y ^

A → ⋅ B → = 3 x y x ^ ⋅ x ^ + ( - 2 x 2 + 6 y 2 ) x ^ ⋅ y ^ - 4 x y y ^ ⋅ y ^ + 9 y z x ^ ⋅ z ^ - 6 x z z ^ ⋅ y ^

A → ⋅ B → = 3 x y - 4 x y = - x y

Então,

∇ ( A → ⋅ B → ) = ∂ ( A → ⋅ B → ) ∂ x x ^ + ∂ ( A → ⋅ B → ) ∂ y y ^ + ∂ ( A → ⋅ B → ) ∂ z z ^ = - y x ^ - x y ^

Agora, o lado direito vai dar um pouquinho mais de trabalho:

A → × ( ∇ × B → ) = A y ( ∇ × B → ) z - A z ( ∇ × B → ) y x ^ + A z ( ∇ × B → ) x - A x ( ∇ × B → ) z y ^

+ A x ( ∇ × B → ) y - A y ( ∇ × B → ) x z ^

Nós já temos a expressão para ( ∇ × B → ) (Dá uma olhada no Passo 1). Assim,

A → × ( ∇ × B → ) = A y ( ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y ) - A z ( ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x ) x ^ + A z ( ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z ) - A x ( ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y ) y ^

+ A x ( ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x ) - A y ( ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z ) z ^

A → × ( ∇ × B → ) = 2 y ( - 2 - 3 ) - 3 z ( 0 - 0 ) x ^ + 3 z ( 0 - 0 ) - x ( - 2 - 3 ) y ^

+ x ( 0 - 0 ) - 2 y ( 0 - 0 ) z ^

A → × ( ∇ × B → ) = - 10 y x ^ + 5 x y ^

Da mesma forma, obtemos

B → × ( ∇ × A → ) = B y ( ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y ) - B z ( ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x ) x ^ + B z ( ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z ) - B x ( ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y ) y ^

+ B x ( ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x ) - B y ( ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z ) z ^

B → × ( ∇ × A → ) = - 2 x ( 0 - 0 ) - 0 ( 0 - 0 ) x ^ + 0 ( 0 - 0 ) - 3 y ( 0 - 0 ) y ^

+ 3 y ( 0 - 0 ) + 2 y ( 0 - 0 ) z ^

B → × ( ∇ × A → ) = 0 →

Agora, só precisamos de ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A → :

( A → ⋅ ∇ ) B → = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z x ^ + A x ∂ B y ∂ x + A y ∂ B y ∂ y + A z ∂ B y ∂ z y ^ + A x ∂ B z ∂ x + A y ∂ B z ∂ y + A z ∂ B z ∂ z z ^

( A → ⋅ ∇ ) B → = x ⋅ 0 + 2 y ⋅ 3 + 3 z ⋅ 0 x ^ + x ⋅ ( - 2 ) + 2 y ⋅ 0 + 3 z ⋅ 0 y ^

+ x ⋅ 0 + 2 y ⋅ 0 + 3 z ⋅ 0 z ^

( A → ⋅ ∇ ) B → = 6 y x ^ - 2 x y ^

( B → ⋅ ∇ ) A → = B x ∂ A x ∂ x + B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z x ^ + B x ∂ A y ∂ x + B y ∂ A y ∂ y + B z ∂ A y ∂ z y ^ + B x ∂ A z ∂ x + B y ∂ A z ∂ y + B z ∂ A z ∂ z z ^

( B → ⋅ ∇ ) A → = 3 y ⋅ 1 - 2 x ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 x ^ + 3 y ⋅ 0 - 2 x ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 y ^ + 3 x ⋅ 0 - 2 x ⋅ 0 + 0 ⋅ 3 z ^

( B → ⋅ ∇ ) A → = 3 y x ^ - 4 x y ^

Finalmente, temos

A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A → = - 10 y x ^ + 5 x y ^ + 6 y x ^ - 2 x y ^ + 3 y x ^ - 4 x y ^

⇒ A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A → = - y x ^ - x y ^

Check!

Passo 3

(c)Agora só falta a gente testar a regra (vi):

∇ × ( A → × B → ) = ( B → ⋅ ∇ ) A → - ( A → ⋅ ∇ ) B → + A → ( ∇ ⋅ B → ) - B → ( ∇ ⋅ A → )

Para o lado esquerdo, temos

∇ × ( A → × B → ) = ∂ ( A → × B → ) z ∂ y - ∂ ( A → × B → ) y ∂ z x ^ + ∂ ( A → × B → ) x ∂ z - ∂ ( A → × B → ) z ∂ x y ^ + ∂ ( A → × B → ) y ∂ x - ∂ ( A → × B → ) x ∂ y z ^

Como já sabemos que A → × B → = ( 6 x z , 9 y z , - 2 x 2 - 6 y 2 ) , então

∇ × ( A → × B → ) = ∂ ( - 2 x 2 - 6 y 2 ) ∂ y - ∂ ( 9 y z ) ∂ z x ^ + ∂ ( 6 x z ) ∂ z - ∂ ( - 2 x 2 - 6 y 2 ) ∂ x y ^ + ∂ ( 9 y z ) ∂ x - ∂ ( 6 x z ) ∂ y z ^

∇ × ( A → × B → ) = - 12 y - 9 y x ^ + 6 x + 4 x y ^ + 0 - 0 z ^ = - 21 y x ^ + 10 x y ^

Agora, podemos partir pro lado direito da equação.Felizmente, nós já calculamos ( A → ⋅ ∇ ) B → = 6 y x ^ - 2 x y ^ e ( B → ⋅ ∇ ) A → = 3 y x ^ - 4 x y ^ no passo anterior. Além disso, temos

A → ( ∇ ⋅ B → ) = A x ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z x ^ + A y ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z y ^ + A z ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z z ^

A → ( ∇ ⋅ B → ) = x 0 + 0 + 0 x ^ + 2 y 0 + 0 + 0 y ^ + 3 z 0 + 0 + 0 z ^ = 0 →

B → ( ∇ ⋅ A → ) = B x ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z x ^ + B y ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z y ^ + B z ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z z ^

B → ( ∇ ⋅ A → ) = 3 y 1 + 2 + 3 x ^ - 2 x 1 + 2 + 3 y ^ + 0 1 + 2 + 3 z ^ = 18 y x ^ - 12 x y ^

Finalmente, vamos somar tudo:

( B → ⋅ ∇ ) A → - ( A → ⋅ ∇ ) B → + A → ( ∇ ⋅ B → ) - B → ( ∇ ⋅ A → ) = 3 y x ^ - 4 x y ^ - 6 y x ^ + 2 x y ^ - 18 y x ^ + 12 x y ^

( B → ⋅ ∇ ) A → - ( A → ⋅ ∇ ) B → + A → ( ∇ ⋅ B → ) - B → ( ∇ ⋅ A → ) = - 21 y x ^ + 10 x y ^

Check!

Bom, eu vou ficando por aqui. Nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.