Enunciado

Uma barra de metal de massa ūĚĎö desliza sem atrito sobre dois trilhos condutores paralelos a uma dist√Ęncia ūĚĎô um do outro (Figura 7.16). Um resistor ūĚĎÖ est√° conectado entre os trilhos e um campo magn√©tico uniforme B, que aponta para dentro da p√°gina, preenche toda a regi√£o.

  1. Se a barra se move para a direita √† velocidade ūĚĎ£, qual √© a corrente no resistor? Em que dire√ß√£o ela flui?
  2. Qual é a força magnética sobre a barra? Em que direção?
  3. Se a barra come√ßar com velocidade v 0 no tempo t = 0 , e for deixada para deslizar, qual ser√° sua velocidade em um tempo posterior ūĚĎ°?
  4. A energia cin√©tica inicial da barra era. √Č claro, 1 2 m v 0 2 . Verifique se a energia fornecida ao resistor √© exatamente 1 2 m v 0 2 .

Passo 1

Ol√° pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A, para começar queremos encontrar a corrente, para isso podemos iniciar com:

őĶ = - d ő¶ d t

Como sabemos que o campo magnético aplicado é uniforme, podemos reescrever a relação acima sendo:

őĶ = - B l d x d t = - B l v

Mas como temos que, őĶ = I R , podemos expressar a rela√ß√£o para a corrente:

I = B l v R

O sinal negativo na equa√ß√£o para őĶ apenas representava a dire√ß√£o do fluxo. Podemos concluir que √© para cima na barra e para baixo no resistor, ou seja, no sentido anti-hor√°rio.

Passo 2

Para a letra B, queremos encontrar a força magnética. Temos então que:

F = Q v √ó B =

F = d Q x √ó B d t =

F = I l B

Como temos a expressão para I obtida no passo 1, podemos reescrever a força sendo:

F = B l v R l B = B 2 l 2   v R

Com isso podemos perceber que o sentido da força é para a esquerda.

Passo 3

Na letra C, podemos partir da segunda lei de newton, temos ent√£o que:

F = m a = m d v d t

Associando a forma magnética, temos que:

m d v d t = - B 2 l 2   v R

d v d t = - B 2 l 2   m R v

d v v = - B 2 l 2   m R d t

l n v = - B 2 l 2   m R t + c

Lembrando que em t=0 temos v 0 , assim ficando:

v t = v 0 e - B 2 l 2   m R

Passo 4

Para finalizar, na letra D queremos verificar se a energia fornecida ao resistor é exatamente a igual a energia cinética, para isso temos que:

d W d t = I 2 R

Substituindo I, temos:

d W d t = B l v R 2 R = B 2 l 2 R v 2

Substituindo v , temos que:

d W d t = B 2 l 2 R ( v 0 e - B 2 l 2   m R ) 2    

W =   B 2 l 2 R v 0 2 ‚ąę 0 ‚ąě e - 2 B 2 l 2   m R d t

W = B 2 l 2 R 2 B 2 l 2 m R v 0 2 e - 2 B 2 l 2   m R 0 ‚ąě = 1 2 m 0 ‚ąě = 1 2 m v 0 2

Com isso, finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

  1. I = B l v R
  2. F = B 2 l 2   v R
  3. v t = v 0 e - B 2 l 2   m R
  4. Dedução no passo 4