Um cabo coaxial longo (Figura 2.26) possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ no cilindro interno (raio a ), e uma densidade superficial de carga uniforme na casca externa do cilindro (raio b ). Essa carga superficial é negativa e de magnitude exata para que o cabo, como um todo, seja eletricamente neutro. Encontre o campo elétrico em cada uma das regiões: (i) dentro do cilindro interno ( s < a ), (ii) entre os dois cilindros ( a < s < b ), (iii) externa ao cabo ( s > b ). Faça um gráfico de E como função de s .

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para acharmos o campo elétrico com a lei de Gauss usamos a fórmula abaixo:

∮ S E . d a = 1 ϵ 0 Q E n

Quer dizer que a integral do campo elétrico em uma superfície fechada é igual a carga envolvida dividida por uma constante. O que precisamos agora é definir a superfície e a carga envolvida. Bora lá!!!

Passo 2

A imagem do cabo pode ser analisada abaixo:

Podemos considerar as duas partes do cabo como dois cilindros, um de raio a e outro b . Portanto, no caso de s < a , o raio do cilindro da superfície Gaussiana é menor que o cilindro positivo.

Os dois cilindros têm densidade de carga uniforme, então a carga envolvida é:

Q E n = ρ π s 2 l

E a superfície de Gauss é a superfície de um cilindro. Substituindo na lei de Gauss.

E 2 π s l = 1 ϵ 0 ρ π s 2 l

E = ρ s 2 ϵ 0 s ^

Passo 3

Quando o raio da superfície de Gauss for maior que a e menor que b . Estaremos considerando todo o cilindro menor. E a carga envolvida agora depende do volume do cilindro menor do cabo.

Q E n = ρ π a 2 l

E a superfície de Gauss continua sendo a mesma.

E 2 π s l = 1 ϵ 0 ρ π a 2 l

E = ρ a 2 2 s ϵ 0 s ^

Passo 4

O enunciado nos diz que o cabo está disposto de um modo que a carga total externa é zero, pois, a casca externa do cabo é negativa. Então, o campo elétrico quando a superfície Gaussiana é maior que o cabo é zero.

E = 0

Passo 5

O gráfico de E em função de s pode ser analisado abaixo:

Resposta

  1. E = ρ s 2 ϵ 0 s ^
  2. E = ρ a 2 2 s ϵ 0 s ^
  3. E = 0