A cada dois anos, mais ou menos, o The New York Times publica um artigo no qual algum astrônomo alega que encontrou um objeto viajando a uma velocidade maior que a da luz. Muitos desses relatos resultam da falha em distinguir o que é visto e observado – ou seja, da falha ao considerar o tempo de viagem da luz. Eis um exemplo: uma estrela está viajando à velocidade v com um ângulo θ em relação à linha de visão (Figura 12.6). Qual a sua velocidade aparente através do céu? (Suponha que o sinal de luz de b chega à Terra em um tempo ∆ t após o sinal de a , e a estrela, nesse meio tempo, avançou uma distância ∆ s através da esfera celeste; por ‘velocidade aparente’ quero dizer ∆ s / ∆ t .) Que ângulo θ dá a máxima velocidade aparente? Mostre que a velocidade aparente pode ser muito maior que c , mesmo que v seja menor do que c .

Passo 1

o   s i n a l   d e   l u z   d e i x a   a   n o   t e m p o   t a ' ; c h e g a   à   T e r r a   n o   t e m p o   t a = t a ' + d a / c , o   s i n a l   d e   l u z   d e i x a   b     n o   t e m p o   t b ' ; c h e g a   à   T e r r a   n o   t e m p o   t b = t b ' + d b / c .

(Aqui d a é a distância de a até a Terra, e d b é a distância de b até a Terra.)

∆ s = v ∆ t ' sin ⁡ θ = v sin ⁡ θ ∆ t 1 - v c cos ⁡ θ

Essa é a velocidade aparente,

u = v sin ⁡ θ ∆ t 1 - v c cos ⁡ θ

d u d t = v 1 - v c cos ⁡ θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ v c sin ⁡ θ 1 - v c cos ⁡ θ 2 = 0

⇒ 1 - v c cos ⁡ θ cos ⁡ θ = v c sin 2 ⁡ θ

⇒ cos ⁡ θ = v c sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = v c

θ m á x = cos - 1 ⁡ v / c

Nesse ângulo máximo,

u = v 1 - v 2 / c 2 1 - v 2 / c 2 = v 1 - v 2 / c 2

Como v → c , u → ∞ , porque o denominador → 0 , embora v < c .

Resposta

Ver Passo 1.