Enunciado

Uma caixa cúbica (com lados de comprimento a ) consiste de cinco placas de metal que estão soldadas juntas e aterradas (Figura 3.23). O topo é feito de uma folha de metal separada, isolada das outras e mantida a um potencial constante V 0 . Encontre o potencial dentro da caixa.

Passo 1

Faala, galera! Bora resolver essa. Aqui, vamos utilizar a equação de Laplace:

∂ 2 V ∂ x 2 + ∂ 2 V ∂ y 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

Teremos as seguintes condições de contorno:

1 ª           V = 0       q u a n d o       x = 0 , 2 ª           V = 0       q u a n d o       x = a , 3 ª           V = 0       q u a n d o       y = 0 , 4 ª           V = 0       q u a n d o       y = a , 5 ª           V = 0       q u a n d o       z = 0 , 6 ª           V = V 0       q u a n d o       z = a ,

Através da separação de variáveis, vamos ter as seguintes soluções para a equação diferencial parcial:

X x = A s e n k x + B c o s ( k x )

Y y = C s e n l y + D c o s ( l y )

Z z = E e k 2 + l 2 z + G e - k 2 + l 2 z

Das condições de contorno, teremos que:

p a r a   a   1 ª → B = 0

p a r a   a   2 ª → k = n π a

p a r a   a   3 ª → D = 0

p a r a   a   4 ª → l = m π a

p a r a   a   5 ª → E + G = 0

E então, teremos:

Z z = s e n h ( π n 2 + m 2 z a

Combinando as soluções e os resultados obtidos das condições de contorno, teremos:

V x , y , z = X x Y y Z ( z )

V x , y , z =   ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ C n , m s e n n π x a s e n m π y a s e n h ( π n 2 + m 2   z a )

Passo 2

Agora, para encontrar os valores dos coeficientes C n , m , utilizaremos a 6 ª condição de contorno:

V 0 =   ∑ ∑ [ C n , m s e n h ( π n 2 + m 2 ]     s e n n π x a s e n m π y a  

Isolando o termo C n , m s e n h ( π n 2 + m 2 :

C n , m s e n h ( π n 2 + m 2 = 2 a 2 V 0 ∫ 0 a ∫ 0 a   s e n n π x a s e n m π y a d x d y

2 a 2 V 0 ∫ 0 a ∫ 0 a   s e n n π x a s e n m π y a d x d y =   0 ,           s e   n   o u   m   f o r e m   p a r 16 V 0 π 2 n m ,       s e   o s   d o i s   f o r e m   í m p a r e s

Passo 3

Aplicando a expressão para os valores dos coeficientes, teremos:

V x , y , z = 16 V 0 π 2   ∑ n = 1,3 , 5 , … ∑ m = 1,3 , 5 , … 1 n m   s e n n π x a s e n m π y a s e n h ( π n 2 + m 2 z a ) s e n h ( π n 2 + m 2 )

E aqui finalizamos a questão, galera!! Até a próxima. 😊

Resposta

V x , y , z = 16 V 0 π 2   ∑ n = 1,3 , 5 , … ∑ m = 1,3 , 5 , … 1 n m   s e n n π x a s e n m π y a s e n h ( π n 2 + m 2 z a ) s e n h ( π n 2 + m 2 )