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Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 17.Problemas - Ex. 1

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  1. Calcule cada uma das seguintes funções e verifique se ela é periódica. Se for periódica, determine seu período.

( a ) f t = cos ⁡ π t + 2 cos ⁡ 3 π t + 3 cos ⁡ 5 π t

( b ) y t = s e n   t + 4 cos ⁡ 2 π t

c g t = s e n   3 t cos ⁡ 4 t

d h t = cos 2 ⁡ t

( e ) z t = 4.2   s e n   0.4 π t + 10 ° + 0.8   s e n ( 0.6 π t + 50 ° )

( f ) p t = 10

( g ) q t = e - π t

Passo 1

Qualquer função periódica pelo teorema de Fourier pode ser expressa por:

f t = a o + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n ω o t + b n   s e n   n ω o t

E para ela ser periódica de fato as funções que compões a f ( t ) precisam ter o mesmo ω e por consequência o mesmo T além de ter uma relação entre os n .

Então por exemplo a letra a nos diz que:

a o = 0 ; b n = 0

E podemos dizer que a n existe com ω = π , e estaríamos aproveitando somente os harmônicos ímpares, ou seja n = 1,3 , 5 … o que nos leva a um período igual a:

T = 2 π ω = 2

Então a letra a é sim períodica.

Com gráfico:

Passo 2

Já na letra b não conseguimos estipular um valor de ω   pois na função seno ele vale :

ω = 1

E na função cosseno ele pode valer:

ω = π

Com n = 2

Então por duas ondas terem períodos diferentes não é possível traçar um período só para a onda toda, para esse tipo de onda nós chamamos ela de batimento então ela não pode ser representada por Fourier.

E a primeira coisa que todas as funções trigonométricas tem que ter são os mesmos valores de ω . Então a função não é periódica mesmo as duas funções (seno e cosseno) serem periódicas.

Isso ficará mais claro pelo gráfico da letra b .

Essa função tem toda a cara de ser periódica, mas acredite tem pequenas diferenças entre alguns valores de pico e vale. Isso se deve ao fato de termos uma função composta por outras duas funções que são períódicas, mas com ω levemente diferentes.

Passo 3

Agora a letra c pode ser escrita da seguinte forma:

sin ⁡ a   cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b + sin ⁡ a - b

Então:

s e n   3 t cos ⁡ 4 t = 1 2 sin ⁡ 7 t + sin ⁡ - t

Só que como sin ⁡ - t   =   - sin ⁡ t   então:

g t = 1 2 sin ⁡ 7 t - 1 2 sin ⁡ t

Como temos a mesma função seno então podemos dizer que:

ω = 1 → T = 2 π

Nos dando o seguinte gráfico

Sendo sim uma função periódica. Uma vez que podemos escrever as duas funções com o mesmo ω e valores diferentes de n .

Passo 4

Já a letra d pode ser escrita como:

h t = cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 = 1 2 1 + cos ⁡ 2 t = 1 2 + cos ⁡ 2 t 2

Supondo n = 1 vemos que a função tem ω = 2   logo, T = 2 π ω = π , nos dando o seguinte gráfico.

Portanto a função é sim periódica.

Passo 5

Na letra e temos a forma alternativa da série de Fourier que é a forma amplitude-fase que é escrita na seguinte forma:

f t = a o + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n   ω o t + ϕ n )   o u   f t = a o + ∑ n = 1 ∞ A n sen ⁡ ( n   ω o t + ϕ n )  

E podemos escrever a função da seguinte forma:

f t = ∑ n = 1 2 4.2 5.25 n - 1 s e n 0.2 π × n + 1 + ( 10 + 40 ( n - 1 )

Sim, eu sei não é trivial escrever a série dessa forma, mas note que temos duas funções com n ω t e uma vale:

n ω o t = 0.4 π t

n ω 1 t = 0.6 π t

E como as duas estão na mesma função seno, podemos forças dizendo que na primeira n = 1 e na segunda n = 2 . Então um jeito de fazer com que ω nos dois seja igual é fazendo:

n ω t = 0.2 π n + 1 t

Com n = n + 1  

ω = 0.2 π

Então ω = 0.2 π , logo:

T = 2 π 0.2 π = 10

Sendo sim uma função periódica.

Passo 6

A letra f pode gerar uma discussão filosófica interessante, pois independente do período que você escolha, a função constante terá um comportamento conhecido, sempre começando e terminando no mesmo valor.

Isso é supondo que o período da reta é de 2 π , nós temos que:

f 0 = f 2 π = f 4 π = … = f 2 n π = 10

Nesse sentido a função constante pode ser vista como periódica, mesmo ela não variando nada, meio louco isso mas é a definição para uma função ser periódica.

No caso de Fourier é como se tivéssemos:

a o = 10 ; a n = 0 ; b n = 0

E a letra g é uma função exponencial e que não tem nenhuma relação com a série de Fourier exponencial e complexa.

Resposta

a )   p e r í ó d i c a ; ω = π ; T = 2

b )   N ã o   é   p e r i ó d i c a

c )   p e r i ó d i c a ; ω = 1 ,   T = 2 π

d )   p e r i ó d i c a ; ω = 2 ; T = π

e )   p e r i ó d i c a ; ω = 0.2 ; T = 10

f )   p e r í o d i c a ; ω = q u a l q u e r   v a l o r ; T = 2 π ω

g )   N ã o   é   p e r i ó d i c a

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