Calcule os campos elétrico e magnético de um dipolo magnético oscilante sem usar a aproximação 3. [Eles parecem familiares? Compare ao Problema 9.33.] Encontre o vetor de Poynting e mostre que a intensidade da radiação é exatamente a mesma que obtivemos usando a aproximação 3.

Passo 1

Olá jovem estudante!

Bom, nosso primeiro passo será voltar a equação 11.33:

A = μ 0 m 0 4 π s i n θ r 1 r c o s c o s   ω t - r c   - ω c s i n s i n   ω t - r c   ϕ

Calma, vamos lá!

Passo 2

Desde V = 0 aqui,

E = - ∂ A ∂ t = - μ 0 m 0 4 π s i n θ r 1 r - ω s i n s i n   ω t - r c   - ω c ω c o s c o s   ω t - r c   ϕ

= μ 0 m 0 ω 4 π s i n θ r 1 r s i n s i n   ω t - r c   + ω c c o s c o s   ω t - r c   ϕ

Passo 3

B = ∇ × A = 1 r   s i n θ ∂ ∂ θ A ϕ   s i n θ r ^ - 1 r ∂ ∂ r r A ϕ θ ^

= μ 0 m 0 4 π { 1 r   s i n θ 2   s i n θ   c o s θ r 1 r c o s c o s   ω t - r c   - ω c s i n s i n   ω t - r c   r ^

- s i n θ r   - 1 r 2 c o s c o s   ω t - r c   + ω r c s i n s i n   ω t - r c   - ω c - ω c c o s c o s   ω t - r c   θ ^ }

= μ 0 m 0 4 π { 2   c o s θ r 2 1 r c o s c o s   ω t - r c   - ω c s i n s i n   ω t - r c   r ^

- s i n θ r - 1 r 2 c o s c o s   ω t - r c   + ω r c s i n s i n   ω t - r c   + ω c 2 c o s c o s   ω t - r c   θ ^ }

Passo 4

Estes são precisamente os campos que estudamos em Problema 9.33, com A → μ 0 m 0 ω 2 4 π c . O vetor Poynting (citando a solução para esse problema) é

S = μ 0 m 0 2 ω 3 16 π 2 c 2 s i n θ r 2 { 2 c o s θ r 1 - c 2 ω 2 r 2 s i n s i n   u   c o s c o s   u   + c ω r u   - u   θ ^

s i n s i n   θ   - 2 r + c 2 ω 2 r 3 s i n s i n   u   c o s c o s   u   + ω c u   + c ω r 2 u   - u   r ^ } ,

onde u ≡ - ω ( t - r c ) . A intensidade é ⟨ S ⟩ = μ 0 m 0 2 ω 4 32 π 2 c 3 θ   r 2 r ^ , a mesma que na Equação 11.39.

Resposta

Ver Passo 2, 3 e 4.