Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 39

Calcule o divergente da função

v = r cos ⁡ θ r ^ + r sen ⁡ θ θ ^ + r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ϕ ^

Verifique o teorema do divergente para esta função, usando para o volume a semiesfera invertida de raio R apoiada no plano x y e centrada na origem. (Figura 1.40).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro vamos calcular a divergência da função:

∇ ∙ υ → = 1 r 2 ∂ ∂ r r 3 cos ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ r sen 2 ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Que vai ser igual a

∇ ∙ υ → = 3 cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ = 5 cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ

Agora vamos fazer a integral de volume:

∫ 0 R ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π 5 cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ   r 2   d r   sen ⁡ θ d θ d ϕ

A integral de r 2   d r é igual a r 3 3 , com isso,

1 3 R 3 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π 5 cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ   sen ⁡ θ d θ d ϕ

O segundo termo será integrado a zero, pois estamos integrando sen ⁡ ϕ ao longo de seu período, então:

1 3 R 3 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 5 cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ   sen ⁡ θ d θ d ϕ = 5 3 R 3 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Desenvolvendo os termos, nós obtemos que

10 π R 3 3 ∫ 0 2 π 1 2 sin ⁡ 2 θ d 2 θ 1 2   = 5 π R 3 6 - cos ⁡ 2 θ 0 π / 2 = 5 π 3 R 3

Passo 2

Agora vamos calcular a superfície da integral. Vamos dividir em duas partes. Primeiramente, integrando sobre a tampa hemisférica:

∫ υ → ∙ d S → = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π R cos ⁡ θ R 2 sen ⁡ θ d θ d ϕ

Desenvolvendo os termos

∫ υ → ∙ d S → = R 3 2 π ∫ 0 π 2 1 2 sin ⁡ 2 θ d 2 θ 1 2 = π 2 R 3 - cos ⁡ 2 θ 0 π 2 = π R 3

Agora, por baixo:

θ = π 2 → d S → = r   d r d ϕ θ ^

Com isso, a integral fica da seguinte forma

∫ υ → ∙ d S → = ∫ 0 R ∫ 0 2 π r sin ⁡ θ r d r d ϕ = 1 3 R 3 ∫ 0 2 π d ϕ = 2 π 3 R 3

Desde que θ = π / 2 . Somando estas duas contribuições

π R 3 + 2 π 3 R 3 = 5 π 3 R 3

Mesmo resultado que obtivemos com a integral de volume, como deveria ser.

Resposta

∫ υ → ∙ d S → = ∫ ∇ ∙ υ →   d V = 5 π 3 R 3