Calcule a força de atração magnética entre os hemisférios norte e sul de uma casca esférica uniformemente carregada e em rotação de raio R , velocidade angular ω e densidade de carga superficial σ . [Este é o mesmo que o Problema 5.42, mas desta vez use o tensor das tensões de Maxwell e a Equação 8.22.]

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! O campo magnético fora e dentro da casca são:

B → f o r a = μ 0 m 4 π r 3 2 cos ⁡ θ r ^ + s e n   θ   θ ^

B → d e n t r o = 2 3 μ 0 σ ω R z ^

Para a nossa superfície de integração, vamos usar o plano x y . Portanto, o hemisfério no infinito não contribuirá em nada para a integral. Sendo o campo externo:

B → f o r a = - μ 0 m 4 π r 3 z ^

Dentro da casca, o campo é uniforme. Agora, precisamos achar:

F = F d e n t r o + F f o r a

Bora láa!!

Passo 2

Sabendo que o tensor das tensões de Maxwell nesse plano será apenas na componente T z z , a força na direção z será:

d F = T z z   d x   d y

= 1 2 μ 0 B z 2 - 1 2 B x 2 + B y 2 + B z 2 d x   d y

= 1 2 μ 0 B z 2 d x   d y

= 1 2 μ 0 B z 2 r   d r   d ϕ

Calculando a força dentro da casca:

d F d e n t r o = 1 2 μ 0 B z 2 d x   d y

= 1 μ 0 2 3 μ 0 σ ω R 2 d x   d y

F d e n t r o = 1 2 μ 0 2 3 μ 0 σ ω R 2 R 2 π = 2 π 9 μ 0 σ 2 ω 2 R 4

Calculando a força fora da casca:

F f o r a = ∫ R ∞ ∫ 0 2 π 1 μ 0 μ 0 m 4 π r 3 2 r d r d r ϕ

F f o r a = μ 0 16 π m 2 1 4 1 R 4

Lembrando que o momento de dipolo para uma casca esférica é:

m = 4 π 3 R 4 σ ω

Portanto, a força total de atração magnética é:

F = 2 π 9 μ 0 σ 2 ω 2 R 4 + π 36 μ 0 σ 2 ω 2 R 4

= π 4 μ 0 ω 2 R 4

Resposta

F = π 4 μ 0 ω 2 R 4