Calcule o gradiente e o laplaciano da função T = r cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ . Verifique o laplaciano convertendo T em coordenadas cartesianas e usando a Equação 1.42. Teste o teorema do gradiente para esta função, usando o caminho mostrado na Figura 1.41 de ( 0,0 , 0 ) e ( 0,0 , 2 ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro vamos calcular o gradiente da função:

∇ T = ∂ ∂ r r ^ + 1 r ∂ ∂ θ θ ^ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ ϕ ^ r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Com isso, nós temos que

∇ T = r ^ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + θ ^ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - sen ⁡ θ - sen ⁡ ϕ ϕ ^

Agora, o Laplaciano é apenas a divergência do gradiente, então:

∇ 2 T = ∇ ∙ ∇ T

Com isso, nós temos que

∇ 2 T = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - sin ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ - sen ⁡ ϕ

Desenvolvendo os termos

∇ 2 T = 2 r cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ 1 2 sen ⁡ ( 2 θ )   cos ⁡ ϕ - sen 2 ⁡ θ - cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ

Um pouco mais...

∇ 2 T = 2 r sen ⁡ θ cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ - cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ = 2 r sen ⁡ θ cos ⁡ θ + cos ⁡ ϕ r s e n ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ

Que no final, dá esse resultado aqui

∇ 2 T = 0

Passo 2

Agora vamos fazer a segunda parte do problema, referente a figura 1.41). Começaremos na origem e seguiremos o caminho da seta. O caminho é dividido em três partes. A primeira parte:

d l → = d r r ^ ;     θ = π 2 ; ϕ = 0

Com isso, a integral é igual a

∫ 0 2 r cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ d r = ∫ 0 2 r   d r = 2

A segunda parte é igual a

r = 2 ; θ = π 2 ;   d l → = 2 d ϕ ϕ ^

E com isso,

∫ 0 π 2 - sen ⁡ ϕ 2 d ϕ = - 2 ∫ 0 2 sen ⁡ ϕ d ϕ = 2   cos ⁡ ϕ 0 π 2 = - 2

E a terceira parte,

ϕ = π 2 ; r = 2 ; d l → = 2 d θ - θ ^

Portanto,

∫ - π 2 0 cos ⁡ θ ∙ 0 - sen ⁡ θ 2 d θ - θ ^ = 2 ∫ - π 2 0 sen ⁡ θ d θ = 2

O resultado total é igual a 2. Usando o teorema do gradiente:

T b - T a = 2 - 0 = 2

Portanto, esses dois resultados concordam um com o outro, como deveriam.

Resposta

∇ T = r ^ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ + θ ^ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - sen ⁡ θ - sen ⁡ ϕ ϕ ^

∇ 2 T = 0

T b - T a = 2 - 0 = 2