Calcule o gradiente e o laplaciano da função . Verifique o laplaciano convertendo em coordenadas cartesianas e usando a Equação 1.42. Teste o teorema do gradiente para esta função, usando o caminho mostrado na Figura 1.41 de e .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Primeiro vamos calcular o gradiente da função:
Com isso, nós temos que
Agora, o Laplaciano é apenas a divergência do gradiente, então:
Com isso, nós temos que
Desenvolvendo os termos
Um pouco mais...
Que no final, dá esse resultado aqui
Passo 2
Agora vamos fazer a segunda parte do problema, referente a figura 1.41). Começaremos na origem e seguiremos o caminho da seta. O caminho é dividido em três partes. A primeira parte:
Com isso, a integral é igual a
A segunda parte é igual a
E com isso,
E a terceira parte,
Portanto,
O resultado total é igual a 2. Usando o teorema do gradiente:
Portanto, esses dois resultados concordam um com o outro, como deveriam.