Calcule a integral de linha de
Através do caminho mostrado na Figura 1.50 (os pontos identificados por suas coordenadas cartesianas). Use coordenadas cilíndricas ou esféricas. Verifique sua resposta usando o teorema de Stokes.
Passo 1
Faaala, galera! Bora resolver essa questãozinha juntos? Como temos 4 ramos no caminho, vamos dividir nossa integral em 4:
Vamos começar primeiro pelo ramo que está sobre o eixo e utilizando coordenadas esféricas, teremos que:
Agora que temos os parâmetros em coordenadas esféricas, basta fazermos a integral de linha por esse ramo:
Agora faremos a integral seguinte ao primeiro caminho, que forma um quarto de círculo. Em coordenadas esféricas, teremos:
Integrando, teremos:
O próximo ramo a ser integrado será o que sobe de em até . Em coordenadas esféricas, teremos:
Para , vamos ter que:
Logo:
E para :
Integrando pelo ramo:
E agora, vamos integrar sobra o último ramo que falta (do ponto (0, 1, 2) até a origem). Em coordenadas esféricas, teremos:
Integrando:
Agora, que calculamos as integrais de linha por todos os caminhos, basta somarmos os resultados:
Passo 2
Agora, para finalizar, vamos verificar o resultado que obtivemos utilizando o teorema de Stokes. O teorema de Stokes diz que a integral de uma derivada (do rotacional) sobre uma região é igual ao valor da função no contorno (ou o perímetro do trecho considerado). O teorema e expresso pela seguinte equação:
Para verificar, primeiramente vamos calcular o rotacional:
Para a superfície formada entre os eixos :
Integrando:
Para a superfície formada entre os eixos :
E o resultado encontrado foi o mesmo encontrado anteriormente, comprovando a resposta anterior!
E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊