Calcule a integral de linha de

V = r c o s 2 θ r ^ - r c o s θ s e n θ θ ^ + 3 r ϕ ^

Através do caminho mostrado na Figura 1.50 (os pontos identificados por suas coordenadas cartesianas). Use coordenadas cilíndricas ou esféricas. Verifique sua resposta usando o teorema de Stokes.

Passo 1

Faaala, galera! Bora resolver essa questãozinha juntos? Como temos 4 ramos no caminho, vamos dividir nossa integral em 4:

Vamos começar primeiro pelo ramo que está sobre o eixo x e utilizando coordenadas esféricas, teremos que:

θ = π 2                     ϕ = 0                     r   :   0 → 1  

Agora que temos os parâmetros em coordenadas esféricas, basta fazermos a integral de linha por esse ramo:

v   .   d l = r   c o s 2 θ d r = r c o s 2 π 2 d r   = 0

∫ V   .   d l = 0

Agora faremos a integral seguinte ao primeiro caminho, que forma um quarto de círculo. Em coordenadas esféricas, teremos:

θ = π 2                   r = 1                   ϕ   : 0 → π 2  

Integrando, teremos:

V   .   d l = 3 r r   s e n θ d ϕ = 3 d ϕ

∫ V   .   d l = 3   ∫ 0 3 2 d ϕ = 3 π 2

O próximo ramo a ser integrado será o que sobe de z = 0 em y = 1 até z = 2 . Em coordenadas esféricas, teremos:

ϕ = π 2

Para r , vamos ter que:

r s e n θ = y = 1

r = 1 s e n θ

Logo:

d r = - 1 s e n 2 θ c o s θ d θ

E para θ :

θ   : π 2 → π 4

Integrando pelo ramo:

V   .   d l = r c o s 2 θ d r - r - c o s θ s e n θ r d θ = cos 2 ⁡ θ s e n θ   - c o s θ s e n 2 θ d θ - c o s θ s e n θ s e n 2 θ d θ

=   - cos 3 ⁡ θ s e n 3 θ + c o s θ s e n θ d θ =   - c o s θ s e n θ   cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ s e n 2 θ d θ =   - c o s θ s e n 3 θ   d θ

∫ V   .   d l =   - ∫ π 2 π 4 c o s θ   s e n 3 θ d θ = 1 2 s e n 2 θ π 2 π 4 = 1 2   .   1 2 - 1 2   .   1 = 1 - 1 2 = 1 2    

E agora, vamos integrar sobra o último ramo que falta (do ponto (0, 1, 2) até a origem). Em coordenadas esféricas, teremos:

θ = π 4                 ϕ = π 2                 r   : 2 → 0

Integrando:

  V   .   d l = r c o s 2 θ d r = 1 2 r d r

∫ V   .   d l = 1 2   ∫ 2 0 r d r = 1 2 r 2 2 2 0 =   - 1 4   .   2 =   - 1 2  

Agora, que calculamos as integrais de linha por todos os caminhos, basta somarmos os resultados:

∮ V   .   d l = 0 + 3 π 2 + 1 2 - 1 2 = 3 π 2

Passo 2

Agora, para finalizar, vamos verificar o resultado que obtivemos utilizando o teorema de Stokes. O teorema de Stokes diz que a integral de uma derivada (do rotacional) sobre uma região é igual ao valor da função no contorno (ou o perímetro do trecho considerado). O teorema e expresso pela seguinte equação:

∫ S ∇ × V   .   d a = ∮ P V   .   d l

Para verificar, primeiramente vamos calcular o rotacional:

∇ × V = 1 r s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ 3 r - ∂ ∂ ϕ - r s e n θ c o s θ r ^ + 1 r [ 1 s e n θ ∂ ∂ ϕ r c o s 2 θ - ∂ ∂ r r 3 r θ ^  

+ 1 r ∂ ∂ r - r r c o s θ s e n θ - ∂ ∂ θ r c o s 2 θ ϕ ^  

= 1 r s e n θ 3 r c o s θ r ^ + 1 r - 6 r θ ^ + 1 r - 2 r c o s θ s e n θ + 2 r c o s θ s e n \ t h e a t   ϕ ^

3 c o t θ r ^ - 6 θ ^

Para a superfície formada entre os eixos y   e   z :

d a =   - r d r d θ ϕ ^

∇ × V . d a = 0  

Integrando:

∫ ∇ × V . d a = 0

Para a superfície formada entre os eixos x   e   y :

d a =   - r s e n θ d r d ϕ θ   ^

∇ × V . d a = 6 r s e n θ d r d ϕ                             θ → π 2

∇ × V . d a = 6 r s e n π 2 d r d θ d ϕ = 6 r d r d θ d ϕ

∫ ∇ × V . d a = ∫ 0 1 6 r d r   ∫ 0 π 2 d ϕ = 6   . 1 2   . π 2 = 3 π 2

E o resultado encontrado foi o mesmo encontrado anteriormente, comprovando a resposta anterior!

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

∮ V   .   d l = 3 π 2

∫ ∇ × V . d a = 3 π 2