Calcule a integral de linha de

v = 6   x ^ + y z 2   y ^ + 3 y + z z ^

Ao longo do caminho triangular mostrado na Figura 1.49. Confira sua resposta usando o teorema de Stokes. [Resposta: 8/3]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Para a resolução desta questão, vamos usar primeiramente o teorema de Stokes que nos dá a seguinte equação:

∫ ∫ S ∇ × v . d S = ∮ v . d l

Então, vamos calcular primeiro a integral na superfície do rotacional de v . E para finalizar, calculamos a integral de linha interpretando a figura do livro. Bora lá!!!

Passo 2

Calculando pelo teorema de Stokes.

∇ × v = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 6 y z 2 3 y + z = 3 - 2 y z   x ^

E na nossa integral de superfície, os limites de z são z = 2 - 2 y e z = 0 , onde 2 - 2 y é a reta que limita a parte superior da figura. E os limites de y são y = 0 e y = 1 . Sendo assim, já podemos calcular a integral do teorema.

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 3 - 2 y z x ^ . ( x ^   d z d y )

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 3 - 2 y z d z   d y

∫ 0 1 3 2 - 2 y - y 2 - 2 y 2 d y

6 y - 5 y 2 + 8 3 y 3 - y 4 1 0

= 8 3

Pronto, agora vamos calcular a integral de linha e verificarmos o resultado!!

Passo 3

Primeiro vamos parametrizar os caminhos, começando do topo da figura, quando z = 2 .

A parametrização fica:

0 ,   0 ,   2 → 0 ,   0 ,   0 : l 1 t = 0 ,   0 ,   2 - t

0 ,   0 ,   0 → 0 ,   1 ,   0 : l 2 t = 0 ,   t ,   0

0 ,   1 ,   0 → 0 ,   0 ,   2 : l 3 t = 0 ,   1 - t ,   2 t

Portanto, nossa integral de linha fica:

∮ v . d l = ∫ L 1 v . d l + ∫ L 2 v . d l + ∫ L 3 v . d l

∮ v . d l = ∫ 0 2 ( t - 2 ) d t + ∫ 0 1 ( 0 ) d t + ∫ 0 1 - 1 - t 2 t 2 + 2 3 1 - t + ( 2 t ) d t

= ∫ 0 2 ( t - 2 ) d t + ∫ 0 1 ( 6 - 2 t - 4 t 2 + 4 t 3 ) d t

= - 2 + 14 3

∮ v . d l = 8 3

Sendo assim, como achamos o mesmo resultado, conferimos o teorema de Stokes!!

Resposta

∮ v . d l = 0