Calcule a integral

J = ∫ V e - r ∇ ⋅ r ^ r 2 d τ

(onde V é uma esfera de raio R , centrada na origem) por dois métodos distintos, como no exemplo 1.16.

Passo 1

Fala, pessoal!

Bom, como manda a questão, vamos calcular a integral por dois métodos, começando com o mais simples. Temos

∇ ⋅ 1 r 2 = 4 π δ 3 ( r → )

Assim, a integral fica

J = ∫ V e - r ∇ ⋅ r ^ r 2 d τ = 4 π ∫ V e - r δ 3 ( r → ) d τ = 4 π e 0 = 4 π

Passo 2

Agora vamos usar o segundo método, que é um pouco mais chatinho. Vamos começar integrando por partes:

J = ∫ V e - r ∇ ⋅ r ^ r 2 d τ = ∫ V ∇ ⋅ e - r r ^ r 2 d τ - ∫ V ∇ e - r ⋅ r ^ r 2 d τ

Agora, vamos usar o teorema do divergente

J = ∮ S e - r r ^ r 2 ⋅ d a → - ∫ V ∇ e - r ⋅ r ^ r 2 d τ

Passo 3

Como

∇ e - r = ∂ ∂ r ( e - r ) r ^ = - e - r r ^

e

d a → = r 2 s e n   θ d θ d ϕ r ^

Então,

J = ∮ S e - r r ^ r 2 ⋅ d a → - ∫ V ∇ e - r ⋅ r ^ r 2 d τ = ∮ S e - r r ^ r 2 ⋅ r 2 s e n   θ d θ d ϕ r ^ - ∫ V - e - r r ^ ⋅ r ^ r 2 d τ

J = e - r ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ + ∫ 0 R e - r r 2 r 2 d r ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ = 4 π e - R - 4 π ( e - R - 1 )

Na primeira integral nós trocamos e - r por e - R pra pegar o valor de r na superfície. Como R → ∞ , então, e - R → 0 e

J = - 4 π ( - 1 ) = 4 π

Check!

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Resposta

Veja a resolução acima.