Calcule a integral de superfície da função no Exemplo 1.7 para o fundo da caixa. Por coerência, adote ‘para cima’ como sendo a direção positiva. A integral de superfície depende somente da linha limite para esta função? Qual é o fluxo total sobre a superfície fechada da caixa (inclusive o fundo)? [Nota: para a superfície fechada, a direção positiva é ‘para fora’ e, portanto, ‘para baixo’ para a face inferior.]

Passo 1

Fala galera!

No exemplo dado, temos a seguinte função:

v = 2 x z   x ^ + x + 2 y ^ + y z 2 - 3 z ^

Os termos variam no seguinte intervalo:

x : 0 → 2 ,     y : 0 → 2 ,     z = 0

Então, nossa integral de superfície será:

∫ S v d a = ∫ y ∫ x y z 2 - 3 d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - 3 y d y d x

- 3 ∫ 0 1 y 2 2 0 2 d x

- 3 ∫ 0 2 4 2 d x

- 6 x 0 2 = - 12

Passo 2

No exemplo 1.7 encontramos 20 para a mesma linha, portanto, a integral não depende só da linha limite.

O fluxo total para a superfície da caixa será a soma dos dois valores:

20 + 12 = 32

Resposta

Compreendeu como calcular a integral de superfície para uma função?Ficou claro?