Calcule a integral de volume da função T = z 2 para o tetraedro com cantos em ( 0 ,   0 ,   0 ) , ( 1 ,   0 ,   0 ) , ( 0 ,   1 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

Fala galera! Lembrando como calculamos a integral de volume:

∫ T d τ = ∫ z ∫ y ∫ x T   d x   d y   d z

Passo 2

Com os pontos dados, teremos o seguinte tetraedro:

Podemos ver que seus termos se relacionam da seguinte forma:

z + y + x = 1

Logo, podemos definir a variação dos termos da seguinte forma:

z :     0 → 1

y :     0 → 1 - z

x :     0 → 1 - z - y

Assim, nossa integral ficará:

∫ T d τ = ∫ x ∫ y ∫ z z 2   d z   d y   d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 1 - z - y z 2   d x   d y   d z

∫ 0 1 z 2 ∫ 0 1 - z ∫ 0 1 - z - y d x   d y   d z

∫ 0 1 z 2 ∫ 0 1 - z x 0 1 - z - y d y d z

∫ 0 1 z 2 ∫ 0 1 - z ( 1 - z - y ) d y d z

∫ 0 1 z 2 y - z y - y 2 2 0 1 - z d z

∫ 0 1 z 2 1 - z - z 1 - z - 1 - z 2 2 d z

∫ 0 1 z 2 1 - z - z + z 2 - 1 - 2 z + z 2 2 d z

∫ 0 1 z 2 2 - 2 z - 2 z + 2 z 2 - 1 + 2 z - z 2 2 d z

1 2 ∫ 0 1 z 2 1 - 2 z + z 2 d z

1 2 ∫ 0 1 z 2 - 2 z 3 + z 4 d z

1 2 z 3 3 - 2 z 4 4 + z 5 5 0 1

1 2 1 3 - 1 2 + 1 5 = 1 2 10 - 15 + 6 30 = 1 2 ∙ 1 30 = 1 60

Resposta

Então, a integral de volume da função T = z 2 para p tetraedro dado vale

∫ T d τ = 1 60

Qualquer dúvida, pode mandar pra gente!